专题18.6 正方形中的综合问题（压轴题专项讲练）-2021-2022学年八年级数学下册从重点到压轴（人教版）

专题18.6 正方形中的综合问题 【典例1】四边形ABCD是矩形，四边形AEFG是正方形，AD＞AE，点E在线段AD的左侧，连接DE，BG． （1）如图1，若点F在边AD上时，AD＝3，AE，求DE的长． （2）如图2，连接BF，若∠ADE＝∠ABG，BF＝BC，求证：三点B，G，E在同一直线上． 【思路点拨】 （1）作EH⊥AD于点H，由四边形AEFG是正方形得AE＝FE，根据勾股定理求出AF的长为2，则AH＝EHAF＝1，而AD＝3，所以DH＝2，再根据勾股定理求出DE的长即可； （2）先证明△DAE≌△BAG，得AD＝AB，可证明四边形AEFG是正方形，则BF＝BA＝BC，可知点B在线段AF的垂直平分线上，而GA＝GF，EA＝EF，则点G、点E都在线段AF的垂直平分线上，由此可得三点B，G，E在同一直线上． 【解题过程】 （1）解：如图1，作EH⊥AD于点H， ∵四边形AEFG是正方形，点F在边AD上， ∴AE＝FE，∠AEF＝90°， ∴AF2， ∴AH＝FHAF＝1， ∴EHAF＝1， ∵AD＝3， ∴DH＝AD﹣AH＝2， ∵∠DHE＝90°， ∴DE， ∴DE的长是. （2）证明：如图2，连接AF， ∵四边形ABCD是矩形，四边形AEFG是正方形， ∴AE＝AG，∠EAG＝∠DAB＝90°， ∴∠DAE＝∠BAG＝90°﹣∠DAG， 在△DAE和△BAG中， ， ∴△DAE≌△BAG（AAS）， ∴AD＝AB， ∴四边形AEFG是正方形， ∴BA＝BC， ∵BF＝BC， ∴BA＝BF， ∴点B在线段AF的垂直平分线上， ∵GA＝GF，EA＝EF， ∴点G、点E都在线段AF的垂直平分线上， ∴三点B，G，E在同一直线上． 1．（2022•凯里市校级一模）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF＝45°，连接EF，则BF的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【思路点拨】 把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，首先证明△AFE≌△AGE，进而得到EF＝FG，问题即可解决． 【解题过程】 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD， ∴把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图： ∴∠BAF＝∠DAG， ∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠BAF+∠DAE＝45°， ∴∠EAF＝∠EAG， ∵∠ADG＝∠ADC＝∠B＝90°， ∴∠EDG＝180°，点E、D、G共线， 在△AFE和△AGE中， ， ∴△AFE≌△AGE（SAS）， ∴EF＝EG， 即：EF＝EG＝ED+DG， ∵E为CD的中点，边长为6的正方形ABCD， ∴CD＝BC＝6，DE＝CE＝3，∠C＝90°， ∴设BF＝x，则CF＝6﹣x，EF＝3+x， 在Rt△CFE中，由勾股定理得： EF2＝CE2+CF2， ∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2， 解得：x＝2， 即BF＝2， 故选：A． 2．（2021秋•井研县期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点．且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF+DE＝AE+DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可． 【解题过程】 解：连接AE，如图1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°． 又BE＝CF， ∴△ABE≌△BCF（SAS）． ∴AE＝BF． 所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值． 作点A关于BC的对称点H点，如图2， 连接BH，则A、B、H三点共线， 连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点． 根据对称性可知AE＝HE， 所以AE+DE＝DH． 在Rt△ADH中，DH ∴BF+DE最小值为4． 故选：C． 3．（2022•鸡冠区校级一模）如图，四边形ABCD是边长为8的正方形，点E在边CD上，DE＝2；作EF∥BC．分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG，BE的中点，则MN的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【思路点拨】 先判定四边形BCEF为矩形，连接FM，FC，可得点N为FC的中点，BE＝FC；再证明△AFG为等腰直角三角形，然后由直角三角形斜边中线的性质可得MNFC，由勾股定理可得BE的长，即为FC的长，从而可得MN的值． 【解题过程】 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠BCD＝90° ∵EF∥BC， ∴∠BFE+∠ABC＝180°， ∴∠BFE＝90°， ∴四边形BCEF为矩形， 连接FM，FC，如图： ∵N是BE的中点，四边形BCEF