专题(一) 巧用三线合一解决等腰三角形有关问题(作业课件)-【原创新课堂】2020-2021学年八年级数学下册（北师大版）广东

专题(一)　巧用三线合一解决等腰三角形有关问题 北师版 八年级下册 数学 等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．这就是著名的等腰三角形“三线合一”性质．“三线合一”性质常来证明垂直、两线段相等和两角相等．反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形． 1. (2020·广州天河区期末)如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝4 cm， 作AD⊥BC，垂足为点D，若AD＝4 cm，求AB的长． 2. 如图，点D，E在△ABC的BC边上，BD＝CE，AD＝AE. 求证：AB＝AC. 证明：过点A作AP⊥BC于P.∵AD＝AE，∴DP＝PE， ∵BD＝CE，∴BP＝PC，∵AP⊥BC，∴AB＝AC 3. (2020·佛山模拟)如图，已知在等腰△ABC中，AB＝AC， ∠BAC＝80°，AD⊥BC，AD＝AB，连接BD并延长， 交AC的延长线于点E，求∠E的度数． 4. (2020·茂名校级月考)如图，AD是等腰△ABC的底边BC上的高， DE∥AB，交AC于点E.求证：△AED是等腰三角形． 证明：∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝AC，∵AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAD， ∴∠ADE＝∠CAD， ∴AE＝DE，∴△AED是等腰三角形 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC， 求证：AO⊥BC. 解：∵AB＝AC，BC＝4 cm，AD⊥BC，∴BD＝ eq \f(1,2) BC＝2 cm， ∵AD＝4 cm，∴AB＝ eq \r(AD2＋BD2) ＝2 eq \r(5) cm 解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD＝ eq \f(1,2) ∠BAC＝40°，∵AD＝AB， ∴∠BDA＝ eq \f(1,2) ×(180°－40°)＝70°， ∴∠E＝∠BDA－∠CAD＝70°－40°＝30° 证明：延长AO交BC于点D， 在△ABO和△ACO中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,AO＝AO，,OB＝OC，)) ∴△ABO≌△ACO(SSS)，∴∠BAO＝∠CAO， ∵AB＝AC，∴AO⊥BC 6. (2020·广州南沙区期中)在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点， 点E是AD上任意一点. (1)如图①，连接BE，CE，则BE＝CE成立吗？说明理由； (2)若∠BAC＝45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时， 如图②，BD＝ eq \f(1,2) AE成立吗？说明理由． 解：(1)成立．理由：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAE＝∠CAE. 在△ABE和△ACE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠BAE＝∠CAE，,AE＝AE，)) ∴△ABE≌△ACE(SAS)， ∴BE＝CE (2)成立．理由：∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，∴△ABF为等腰直角三角形， ∴AF＝BF，由(1)知AD⊥BC，∴∠EAF＝∠CBF. 在△AEF和△BCF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EAF＝∠CBF，,AF＝BF，,∠AFE＝∠BFC，)) ∴△AEF≌△BCF(ASA)， ∴AE＝BC，∵BD＝ eq \f(1,2) BC，∴BD＝ eq \f(1,2) AE $