专题(二) 等腰三角形中线段和差倍分问题(作业课件)-【原创新课堂】2020-2021学年八年级数学下册（北师大版）广东

专题(二)　等腰三角形中线段和差倍分问题 北师版 八年级下册 数学 1. 证明线段的和差倍分问题，大都是采取间接的方法进行，即把线段的和差倍分问题转化为证明两条线段相等的问题． 2. 转化是证明线段的和差倍分问题的指导思想，它通过对原问题进行变形，促使矛盾的转移，从而达到化未知为已知，化难为易，化繁为简的目的． 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为点E.求证：BD＋DE＝AC. 证明：∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴∠C＝∠AED＝90°. ∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝∠EAD，又∵AD＝AD，∴△ACD≌△AED(AAS)，∴DC＝DE， ∴BD＋DE＝BD＋CD＝BC.∵AC＝BC，∴BD＋DE＝AC 2. (2020·深圳宝安区月考)如图，P是等腰三角形ABC底边BC上的任一点， PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，BH是等腰三角形AC边上的高． 求证：PE＋PF＝BH. 证明：连接AP.∵AB＝AC，∴S△ABC＝S△ABP＋S△ACP， 即 eq \f(1,2) AB×PE＋ eq \f(1,2) AC×PF＝ eq \f(1,2) AC×(PE＋PF)＝ eq \f(1,2) AC×BH， ∴PE＋PF＝BH 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为E，F，∠BAC＝120°，求证：DE＋DF＝eq \f(1,2)BC. 证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°， ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝eq \f(1,2)BD，DF＝eq \f(1,2)DC， ∴DE＋DF＝eq \f(1,2)BD＋eq \f(1,2)DC＝eq \f(1,2)(BD＋DC)＝eq \f(1,2)BC 4. (2020·揭阳普宁市期末)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°， AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，求证：BE＝ eq \f(1,2) CE. 证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°∴∠B＝∠C＝30°， 又∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B＝30°， ∴∠CAE＝120°－30°＝90°， 在Rt△AEC中，∠C＝30°，∴AE＝ eq \f(1,2) CE，∴BE＝ eq \f(1,2) CE 5. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC 交ED的延长线于点F，BC平分∠ABF，BF＝eq \f(1,2)AE.求证：AC＝3BF. 证明：∵BF∥AC，∴∠C＝∠CBF，∵BC平分∠ABF， ∴∠ABC＝∠CBF，∴∠C＝∠ABC，∴AB＝AC， ∵AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，AD⊥BC， 在△CDE和△BDF中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠C＝∠DBF，,CD＝BD，,∠CDE＝∠BDF，)) ∴△CDE≌△BDF，∴CE＝BF，∵BF＝eq \f(1,2)AE， ∴AE＝2BF，∴AC＝3BF $