4.4 幂函数（同课异构课件）-2021-2022学年高一新教材数学人教B版必修第二册【步步高】学习笔记

4.4 幂函数 【课标要求】 【自主学习】 【基础自测】 【课堂探究】 本课结束 通过具体实例，结合y＝x，y＝eq \f(1,x)，y＝x2，y＝eq \r(x)，y＝x3的图像，理解它们的变化规律，了解幂函数. 知识点一　幂函数的概念 一般地，函数________叫做幂函数，其中____是自变量，____ 是常数． eq \x(状元随笔)　幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量． y＝xα x α {y|y≥0} {y|y≠0} 偶函数 奇函数 奇函数 知识点二　幂函数的图像与性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝eq \f(1,x) 定义域 R R R ______ ______ 值域 R ______ R ______ ______ 奇偶性 奇函数 ______ ______ 非奇非 偶函数 ______ 单调性 在R上 递增 在______ 上递减， 在______ 上递增 在R上 递增 在______ 上递增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上递减 (－∞，0) (0，＋∞) (0，＋∞) {x|x≥0} {x|x≠0} {y|y≥0} 图像 过定点 ____________ ____ (0,0)，(1,1) (1,1) eq \x(状元随笔)　 幂函数在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y＝xα是增函数； 当α<0时，y＝xα是减函数． 1．在函数y＝eq \f(1,x4)，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的 个数为(　　) A．0　　　 B．1 C．2 D．3 【解析】函数y＝eq \f(1,x4)＝x－4为幂函数； 函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数； 函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函数； 函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数． 【答案】B 2．幂函数f(x)的图像过点(3，eq \r(3,9))，则f(8)＝(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 【解析】设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，由函数的图像过点(3，eq \r(3,9))，可得eq \r(3,9)＝3α，∴α＝eq \f(2,3)，则幂函数f(x)＝x ，∴f(8)＝8 ＝4. 【答案】C 3．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝(　　) A．1 B．2 C．1或2 D．3 【解析】∵幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件．当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．故选A. 【答案】A 4．判断大小：0.20.2________0.30.2. 【解析】因为函数y＝x0.2是增函数， 又0.2<0.3，∴0.20.2<0.30.2. 【答案】< 题型一　幂函数的概念 例1　(1)下列函数：①y＝x3；②y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x；③y＝4x2； ④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)． 其中幂函数的个数为(　　) A.1　　 B．2 C．3 D．4 【解析】②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数． 【答案】B　 (2)若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数， 则m的值为(　　) A.1 B．－3 C．－1 D．3 【解析】因为函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1，,m>0，))所以m＝1. 【答案】A (3)已知幂函数f(x)的图像经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,9)))，则f(4)＝_____. 【解析】设f(x)＝xα，所以eq \f(1,9)＝3α，α＝－2， 所以f(4)＝4－2＝eq \f(1,16). 方法归纳 (1)幂函数的判断方法 ①幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如y＝xα(α∈R)的函数才是幂函数． ②如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断． (2)求幂函数解析式的依据及常用方法 ①依据． 若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，