4.3 指数函数与对数函数的关系（同课异构课件）-2021-2022学年高一新教材数学人教B版必修第二册【步步高】学习笔记

4.3　指数函数与对数函数的关系 课程标准 学科素养 1.理解反函数的概念，能判定一个函数是否存在反函数，并能求出简单函数的反函数． 2.掌握互为反函数的函数图像间的关系及其性质. 通过对指数函数与对数函数的关系的学习，强化直观想象、逻辑推理以及数学运算的核心素养. 【自主学习】 如果在函数y＝f(x)中，给定值域中 一个y的值，只有 的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数，此时称y＝f(x)存在反函数，而且函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x)． 任意　 知识点1　反函数的概念 唯一 　 [微体验] 1．已知函数f(x)与函数g(x)＝ex互为反函数，则(　　) A．f(x)＝lg x(x∈R)　　　　 B．f(x)＝lg x(x＞0) C．f(x)＝ln x(x∈R) D．f(x)＝ln x(x＞0) 【答案】D　 【解析】∵g(x)＝ex的反函数为y＝ln x(x＞0)，只有D正确． 1．y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的 相同， y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的 相同． 2．y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于 对称． 3．y＝f(x)与y＝f－1(x)具有 的单调性． 知识点2　反函数的性质 值域　 定义域　 直线y＝x 　 相同　 探究一　反函数存在的条件 【课堂探究】 [方法总结] 反函数的存在条件：原函数中x、y是“一对一”确定的．一般来说，若f(x)在区间A上是单调的，那么f(x)在A上有反函数．　 [跟踪训练1]　函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上存在反函数的充要条件是(　　) A．a∈(－∞，1]　　　　　　 B．a∈[2，＋∞) C．a∈(－∞，1]∪[2，＋∞) D．a∈[1,2] 【答案】C　 【解析】因为二次函数f(x)＝x2－2ax－3不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间(－∞，a]或[a，＋∞)上是单调函数． 而已知函数f(x)在区间[1,2]上存在反函数， 所以[1,2]⊆(－∞，a]或者[1,2]⊆[a，＋∞)，即a≤1或a≥2. 探究二　反函数的求法 [方法总结] 求函数y＝f(x)的反函数的步骤 (1)从原函数y＝f(x)的表达式中反解出x＝f－1(y)； (2)互换x，y，得到y＝f－1(x)； (3)求出反函数的定义域，即原函数的值域．　 探究三　反函数的性质 [方法总结] 1．若函数y＝f(x)与y＝f－1(x)互为反函数，且(a，b)在y＝f(x)的图像上，则(b，a)在y＝f－1(x)图像上． 2．若函数y＝f(x)与y＝f－1(x)互为反函数，若f(a)＝b，则f－1(b)＝a. 3．互为反函数的函数具有相同的单调性，利用这个结论，可以避免求反函数的过程，直接利用原函数的性质求解，减少失误. 探究四　反函数性质的应用 [方法总结] 由互为反函数的两个函数的图像关系可以知道，证明两个函数的图像关于直线y＝x对称，就是证明这两个函数互为反函数；证明一个函数的图像关于直线y＝x对称，就是证明它与自身互为反函数．　 【课堂小结】 本课结束 2．函数y＝eq \r(－x)(x≤0)的反函数是(　　) A．y＝x2 B．y＝－x2 C．y＝－x2(x≤0) D．y＝－x2(x≥0) 【答案】D　 【解析】由y＝eq \r(－x)得y2＝－x，∴x＝－y2，所以反函数是y＝－x2(x≥0)． [微体验] 1．函数y＝eq \r(－x2－2x＋3)(－3≤x≤－1)的反函数的定义域是________. 【答案】[0,2]　 【解析】∵t＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，－3≤x≤－1， ∴t∈[0,4]，∴y＝eq \r(t)∈[0,2]， 反函数的定义域就是原函数的值域，即[0,2]． 2．函数y＝eq \f(1,2x＋1)(x＞0)与函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称， 解f(x)＝________. 【答案】eq \f(1,2x)－eq \f(1,2) 【解析】y＝eq \f(1,2x＋1)的反函数是y＝eq \f(1－x,2x)＝eq \f(1,2x)－eq \f(1,2)，所以f(x)＝eq \f(1,2x)－eq \f(1,2). 【例1】试判断函数y＝eq \f(x,x2＋1)是否存在反函数． 解　任取R中x1＜x2，则有 f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1,x\o\al(2,1)＋1)－eq \f(x2,x\o\al(2,2)＋1)＝eq \f