4.3 指数函数与对数函数的关系（配套课件）-2021-2022学年高一新教材数学人教B版必修第二册【步步高】学习笔记

第四章　指数函数、对数函数与幂函数 §4.3　指数函数与对数函数的关系 1 学习目标 XUE XI MU BIAO 1.了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄 清它们的图像间的对称关系. 2.会求简单函数的反函数. 3.利用指数、对数函数的图像性质解决一些简单问题. 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1 知识梳理 PART ONE 1.反函数 (1)反函数的概念 一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中 y的值，只有____ x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数.此时，称y＝f(x)存在反函数. (2)反函数的记法：函数y＝f(x)的反函数记作 . (3)反函数的性质 ①y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的定义域相同，y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线y＝x对称. 知识点　指数函数与对数函数的关系 任意一个 唯一 的 y＝f－1(x) 5 ②如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数y＝f－1(x)一定存在，此时，如果y＝f(x)是增函数，则y＝f－1(x)也是增函数；如果y＝f(x)是减函数，则y＝f－1(x)也是减函数. 2.指数函数与对数函数的关系 (1)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0且a≠1) . (2)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像关于 对称. 互为反函数 y＝x 1.函数y＝ 的反函数是y＝logx .(　　) 2.函数y＝log3x的反函数的值域为R.(　　) 3.函数y＝ex的图像与y＝lg x的图像关于直线y＝x对称.(　　) 4.互为反函数的两个函数图像关于直线y＝x对称.(　　) 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU × √ × × 2 题型探究 PART TWO 例1　求下列函数的反函数： (1)y＝log2x； 一、求简单函数的反函数 解　由y＝log2x，得x＝2y，y∈R， ∴f－1(x)＝2x，x∈R. ∴f－1(x)＝ (x>0). (3)y＝5x＋1. 反思感悟 求反函数的一般步骤 跟踪训练1　求下列函数的反函数： ∴y≥1且x＝(y－1)2. 例2　(1)若函数y＝f(x)的图像位于第一、二象限，则它的反函数y＝f－1(x)的图像位于 A.第一、二象限 B.第三、四象限 C.第二、三象限 D.第一、四象限 二、互为反函数的函数图像间的关系及性质 √ 解析　结合函数与反函数关于y＝x对称， 即可得出反函数位于第一、四象限. (2)已知函数f(x)＝ax－k的图像过点(1,3)，其反函数y＝f－1(x)的图像过点(2,0)，则f(x)的表达式为___________. 解析　∵y＝f－1(x)的图像过点(2,0)， ∴y＝f(x)的图像过点(0,2)， ∴2＝a0－k，∴k＝－1， ∴f(x)＝ax＋1. 又∵y＝f(x)的图像过点(1,3)， ∴3＝a1＋1， ∴a＝2，∴f(x)＝2x＋1. f(x)＝2x＋1 反思感悟 互为反函数的函数图像关于直线y＝x对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数的函数图像上任一成对的相应点也关于直线y＝x对称，所以若点(a，b)在函数y＝f(x)的图像上，则点(b，a)必在其反函数y＝f－1(x)的图像上. 跟踪训练2　(1)已知函数f(x)＝ax＋b的图像过点(1,7)，其反函数f－1(x)的图像过点(4,0)，则f(x)的解析式为 A.f(x)＝4x＋3 B.f(x)＝3x＋4 C.f(x)＝5x＋2 D.f(x)＝2x＋5 解析　∵f(x)的反函数图像过点(4,0)， ∴f(x)的图像过点(0,4)， 又f(x)＝ax＋b的图像过点(1,7)， ∴a＝4且b＝3，故f(x)＝4x＋3. √ －1 三、指数、对数函数图像与性质的应用 例3　已知x1是方程x＋lg x＝3的一个根，x2是方程x＋10x＝3的一个根，则x1＋x2的值是 A.6 B.3 C.2 D.1 √ 解析　将已知的两个方程变形得 lg x＝3－x,10x＝3－x. 令f(x)＝lg x，g(x)＝10x，h(x)＝3－x. 在同一平面直角坐标系内作出三个函数的大致图像如图所示. 记f(x)与h(x)的交点为A(x1，y1)，g(x)与h(x)的交点为B(x2，y2)， 利用函数的性质易知A，B两点关于直线y＝x对称， 即x1＝y2，x2＝y1.