4.4.3 对数函数的性质与图像(二)（同课异构课件）-2021-2022学年高一新教材数学人教B版必修第二册【步步高】学习笔记

4.2.3 对数函数的性质与图像(二) 课程标准 学科素养 1.理解并掌握对数函数的性质． 2.会利用对数函数的单调性比较大小，解简单的对数不等式. 通过对数函数图像与性质的理解与应用，强化逻辑推理、数学运算的核心素养. 【自主学习】 当a>1时，对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数； 当0<a<1时，对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是__________. 减函数　 知识点1　对数函数的单调性 [微体验] 1．思考辨析： (1)log3x<0，则x的取值范围是 (0,1)．(　　) (2)当a>0，且a≠1时，loga3>loga2.(　　) (3)当x>1时，若logax>logbx，则a<b.(　　) 【答案】(1)√　(2)×　(3)× 解简单的对数不等式logaf(x)>logag(x) 当a>1时，有f(x)>g(x)>0；当0<a<1时，______________. 知识点2　对数不等式的解法 0<f(x)<g(x)　 2．若实数a满足loga2>1，则实数a的取值范围是________. 【答案】(1,2)　 【解析】当a>1时，loga2>1＝logaa. ∴2>a.∴1<a<2；当0<a<1时，loga2<0.不满足题意． 探究一　比较大小 【课堂探究】 [方法总结] 对数值比较大小的常用方法 (1)如果同底，可直接利用单调性求解．如果底数为字母，那么要分类讨论； (2)如果不同底，一种方法是化为同底的，另一种方法是寻找中间量； (3)如果不同底但同真数，可利用图像的高低与底数的大小关系来解决或利用换底公式化为同底再进行比较； (4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量1,0，－1等进行比较； (5)当要比较的两数的底数为字母需要进行分类讨论时，要做到分类不重不漏. [跟踪训练1]　比较下列各组数的大小： (1)loga2.7，loga2.8； (2)log34，log65； (3)log0.37，log97. 解　(1)当a>1时，由函数y＝logax的单调性可知loga2.7<loga2.8， 当0<a<1时，同理可得loga2.7>loga2.8. (2)log34>log33＝1，log65<log66＝1，∴log34>log65. (3)log0.37<log0.31＝0，log97>log91＝0，∴log0.37<log97. 【例2】解不等式：loga(x－4)>loga(x－2)． 探究二　解简单的对数不等式 [方法总结] 常见的对数不等式有三种类型 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论． (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logax>logbx的不等式，可利用图像求解. 【例3】求函数f(x)＝loga(2x2－3x－2)的单调区间． 探究三　函数y＝logaf(x)的单调区间的求法 [方法总结] 函数y＝f(φ(x))是由函数y＝f(u)与u＝φ(x)复合而成的，这类函数的单调性是函数y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性共同决定的．若函数y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，则函数y＝f(φ(x))为增函数；若函数y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，则函数y＝f(φ(x))为减函数，即符合“同增异减”的原则．　 [跟踪训练3]　求函数f(x)＝log2(x2－1)的单调区间． 解　令x2－1>0，∴x>1或x<－1. 设u＝x2－1，当x>1时，u＝x2－1为增函数． 又a＝2>1，f(u)＝log2u为增函数， ∴f(x)＝log2(x2－1)的增区间为(1，＋∞)． 当x<－1时，u＝x2－1为减函数． f(x)＝log2(x2－1)的减区间为(－∞，－1)． 探究四　对数函数性质的综合应用 [变式探究]　本例已知条件不变，求f(x)>0时x的取值范围． [方法总结] 解决对数型复合函数的单调性问题需注意的几点 (1)看底数，当底数大小不明确时，要对底数是否大于1进行讨论； (2)要注意函数的定义域； (3)也可用复合函数的单调性法则来判断．　 1．与对数函数的单调性有关的问题，当底数的取值范围不确定时，通常需要对底数按a>1及0<a<1进行分类讨论． 2．要特别注意logaf(x)本身有意义的条件，即f(x)>0，否则会产生增解或增根． 【课堂小结】 本课结束 2．下列四个数中最大的是(　　) A．(ln 2)2　　　　　　　　 B．ln(ln 2) C．ln eq \r(2) D．ln 2 【答案】D　 【解析】∵y＝ln x为增函数， ∴0<ln eq \r(2)