4.1.2 指数函数的性质与图像(三)（配套课件）-2021-2022学年高一新教材数学人教B版必修第二册【步步高】学习笔记

第四章　§4.1　指数与指数函数 4.1.2　指数函数的性质与图像(三) 1 学习目标 XUE XI MU BIAO 1.掌握指数型函数的单调区间的求法及单调性的判断. 2.掌握指数函数在现实生活中的应用. 3.掌握指数函数的综合性问题. 内 容 索 引 题型探究 随堂演练 课时对点练 题型探究 1 PART ONE 一、指数型函数的单调性 例1　(1)求函数y＝ 的单调区间； 解　y＝ 的定义域为R. 在(－∞，3]上，y＝x2－6x＋17是减函数， 所以y＝ 在(－∞，3]上是增函数. 在(3，＋∞)上，y＝x2－6x＋17是增函数， 所以y＝ 在(3，＋∞)上是减函数. 所以y＝ 的增区间是(－∞，3]，减区间是(3，＋∞). 又y＝t2－8t＋17在(0,4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增. 所以当－2≤x1<x2时， ， 同理可得减区间是(－∞，－2). 反思感悟 复合函数单调性问题归根结底是由x1<x2到f(x1)与f(x2)的大小，再到g(f(x1))与g(f(x2))的大小关系问题，即当两个函数单调性相同时，复合后函数为增函数；当两个函数单调性相反时，复合后函数为减函数. 跟踪训练1　求下列函数的单调区间. (1)y＝ ； 解　设y＝au，u＝x2＋2x－3， 由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4， 得u在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，＋∞)上为增函数. 当a>1时，y关于u为增函数； 当0<a<1时，y关于u为减函数， 所以当a>1时，原函数的增区间为(－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]； 当0<a<1时，原函数的增区间为(－∞，－1]，减区间为(－1，＋∞). 所以原函数的增区间为(－∞，0)和(0，＋∞). 例2　某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： (1)写出该城市的人口总数y(万人)与经过x(年)后的函数关系式； 二、指数函数的实际应用 解　1年后该城市人口总数为 y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)； 2年后该城市人口总数为 y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100×(1＋1.2%)2； 3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)3； … x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x. (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人). (参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127) 解　10年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)10 ＝100×1.01210≈112.7(万人) 反思感悟 解决指数函数应用题的流程 (1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息. (2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式. (3)解模：运用数学知识解决问题. (4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论. 跟踪训练2　(1)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．在一次考古挖掘中，考古学家发现一批鱼化石，经检测其碳14含量约为原始含量的3.1%，则该生物生存的年代距今约 A.1.7万年 B.2.3万年 C.2.9万年 D.3.5万年 √ 解析　∵碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半， ∴该生物生存的年代距今约5 730×5＝28 650≈2.9(万年). (2)已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品的产量为________万件. 解析　∵y＝a·(0.5)x＋b，且当x＝1时，y＝1， 1.75 当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件). 三、指数函数的综合运用 证明　函数f(x)的定义域为R，关于原点对称. 所以函数f(x)为奇函数. 17 (2)证明：函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数； 证明　设x1，x2是(－∞，＋∞)内任意两个实数，且x1<x2， ＝ . 因为x1<x2，所以 ， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数. (3)求函数f(x)在[1,2]上的值域. 解　因为函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数，