4.1.2 指数函数的性质与图像(二)（配套课件）-2021-2022学年高一新教材数学人教B版必修第二册【步步高】学习笔记

第四章　§4.1　指数与指数函数 4.1.2　指数函数的性质与图像(二) 1 学习目标 XUE XI MU BIAO 1.能借助指数函数的性质比较大小. 2.会解简单的指数方程、不等式. 内 容 索 引 题型探究 随堂演练 课时对点练 题型探究 1 PART ONE 一、解指数方程 所以32x＋4＝3－2(x＋2)， 所以2x＋4＝－2(x＋2)，所以x＝－2. (2)22x＋2＋3×2x－1＝0. 解　因为22x＋2＋3×2x－1＝0， 所以4×(2x)2＋3×2x－1＝0. 令t＝2x(t>0)，则方程可化为4t2＋3t－1＝0， 反思感悟 (1)af(x)＝b型方程通常化为同底来解. (2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围.转化为二次方程求解时，要注意根的取舍. 跟踪训练1　解下列关于x的方程： (1)33x－2＝81； 解　因为81＝34，所以33x－2＝34， 所以3x－2＝4，解得x＝2. (3)52x－6×5x＋5＝0. 解　令t＝5x，则t>0， 原方程可化为t2－6t＋5＝0， 解得t＝5或t＝1，即5x＝5或5x＝1， 所以x＝1或x＝0. 例2　比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； 二、比较大小 解　∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5<3.2， ∴1.52.5<1.53.2. (2) 与 ； 由图知 . (3)1.50.3和0.81.2. 解　由指数函数的性质知1.50.3>1.50＝1， 而0.81.2<0.80＝1，∴1.50.3>0.81.2. 反思感悟 比较指数式大小的3种类型及处理方法 跟踪训练2　比较下列各组数的大小： (1)0.8－0.1,1.250.2； 解　∵0<0.8<1， ∴y＝0.8x在R上是减函数. ∵－0.2<－0.1，∴0.8－0.2>0.8－0.1， 即0.8－0.1<1.250.2. (2)1.70.3,0.93.1； 解　∵1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1， ∴1.70.3>0.93.1. (3)a0.5与a0.6(a>0且a≠1). 解　a0.5与a0.6可看做指数函数y＝ax的两个函数值. 当0<a<1时，函数y＝ax在R上是减函数. ∵0.5<0.6，∴a0.5>a0.6. 当a>1时，函数y＝ax在R上是增函数. ∵0.5<0.6，∴a0.5<a0.6. 综上所述，当0<a<1时，a0.5>a0.6； 当a>1时，a0.5<a0.6. 三、解指数型不等式 例3　(1)不等式4x<42－3x的解集是____________. 18 (2)解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a>0且a≠1). 解　①当0<a<1时， ∵a2x＋1≤ax－5， ∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6. ②当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5， ∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6. 综上所述，当0<a<1时，不等式的解集为{x|x≥－6}； 当a>1时，不等式的解集为{x|x≤－6}. 反思感悟 指数型不等式的解法 (1)指数型不等式af(x)>ag(x)(a>0且a≠1)的解法： 当a>1时，f(x)>g(x)； 当0<a<1时，f(x)<g(x). (2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a>0且a≠1)， 等. 跟踪训练3　(1)已知不等式 ≤3x<27，则x的取值范围为 √ 解析　由题意可得 ≤3x<33，再根据函数y＝3x在R上是增函数， (2)已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是__________. 2 随堂演练 PART TWO 1 2 3 4 5 ∴π2> ； ∵y＝0.9x是减函数，且0.5>0.3， ∴0.90.3>0.90.5.故CD正确. 1.(多选)下列判断正确的是 A.2.52.5>2.53 B.0.82<0.83 C.π2> D.0.90.3>0.90.5 √ √ 1 2 3 4 5 √ 3.若a3.1>a3(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是____________. 1 2 3 4 5 (1，＋∞) 解析　因为3.1>3，且a3.1>a3， 所以函数y＝ax是增函数，所以a>1. 26 1 2 3 4 5 4.不等式 >5x＋1的解集是________________________. 解析　由 >5x＋1得2x2>x＋1， 1 2 3 4 5 5.设0<a