4.1.4 指数函数的性质与图像(一)（同课异构课件）-2021-2022学年高一新教材数学人教B版必修第二册【步步高】学习笔记

4.1.2　指数函数的性质与图像（一） 【自主学习】 一般地，函数__________称为指数函数，其中a是常数，a＞0，且a≠1. y＝ax 　 知识点1　指数函数的概念 2．若指数函数f(x)的图像经过点(2,4)，则f(3)＝________. 知识点2　指数函数的图像和性质 (0，＋∞) (0,1) 增函数 2．函数y＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，则a的取值范围是________. 例1 下列函数中，哪些是指数函数？ (1)y＝10x；(2)y＝10x＋1；(3)y＝－4x；(4) y＝xα(α是常数)． 探究一　指数函数的概念 【互动探究】 解　(1)y＝10x符合定义，是指数函数． (2)y＝10x＋1中指数是x＋1而非x，不是指数函数． (3)y＝－4x中系数为－1而非1，不是指数函数． (4)y＝xα中底数是自变量，不是指数函数． [方法总结] 判断一个函数是否为指数函数的关键是分析该函数是否具备指数函数三大特征： (1)底数a＞0，且a≠1; (2)ax的系数为1； (3)y＝ax中“a是常数”，x为自变量，自变量在指数位置上. [跟踪训练1]　函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(　　) A．a＝1或a＝2　　　　 B．a＝1 C．a＝2 D．a>0且a≠1 例2 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图像，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A．a<b<1<c<d　　　 B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c 探究二　指数函数的图像 【解析】 法一　在①②中底数小于1且大于零，在y轴右边，底数越小，图像向下越靠近x轴，故有b<a，在③④中底数大于1，在y轴右边，底数越大，图像向上越靠近y轴，故有d<c. 法二　作直线x＝1，与四个图像分别交于A、B、C、D四点，由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b<a<1<d<c. 探究三　指数函数的定义域和值域 [变式探究]　已知函数y＝9x－2·3x＋2，x∈[1,2]，求函数的值域． [方法总结] 1．函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的定义域、值域 定义域的求法．函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同. 对于y＝af(x)型函数，先求出f(x)的值域A，再画出y＝ax(x∈A)的草图或利用函数的单调性，就能很容易求出原函数的值域． 2．二次函数与指数函数的综合问题 利用换元法将指数函数换成t＝ax的形式，再利用定义域和指数函数的单调性求出t的范围，就转化为闭区间上二次函数的最值问题了，可以结合图像求解. 1．判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一结构形式． 2．指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系．在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大． 3．由于指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域为R，所以函数y＝af(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同，求与指数函数有关的函数的值域时，要考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性． 【本课小结】 本课结束 课程标准 学科素养 1.理解指数函数的概念和意义． 2.能利用函数性质画出指数函数的图像，并借助于计算器或计算机验证． 3.初步掌握指数函数的有关性质. 通过指数函数性质与图像的学习，强化数学抽象、直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养. [微体验] 1．下列函数中指数函数的个数是(　　) ①y＝3x；②y＝x3；③y＝－3x；④y＝xx； ⑤y＝(6a－3)xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>\f(1,2)，且a≠\f(2,3))). A．0　　　 B．1　　　 C．2　　　 D．3 【答案】C　 【解析】只有①⑤是指数函数；②底数不是常数，故不是指数函数；③是－1与指数函数y＝3x的乘积；④中底数x不是常数，它们都不符合指数函数的定义． 【答案】8　 【解析】设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，因为图像经过点(2,4)，所以f(2)＝4，即a2＝4.因为a>0且a≠1，得a＝2，即函数的解析式为f(x)＝2x，∴f(3)＝23＝8. 0＜a＜1 a＞1 图像 定义域 R 值域 __________ 性质 定点__________，即x＝0时，y＝1 减函数 __________ 非奇非偶函数 [微体验] 1．函数y＝3－x的图像是(