4.1.1 实数指数幂及其运算（配套课件）-2021-2022学年高一新教材数学人教B版必修第二册【步步高】学习笔记

第四章　§4.1　指数与指数函数 4.1.1　实数指数幂及其运算 1 学习目标 XUE XI MU BIAO 1.理解n次方根及根式的概念. 2.正确运用根式的运算性质进行根式运算. 3.掌握根式与分数指数幂的互化. 4.掌握有理数指数幂的运算性质. 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1 知识梳理 PART ONE 知识点一　根式 1.a的n次方根的概念 一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为 . 2.根式的意义和性质 当 有意义时， 称为根式， 称为根指数，a称为被开方数. 根式的性质： |a| a a n a的n次方根 分 数 指 数 幂 正分数指数幂 负分数指数幂 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂________ 知识点二　分数指数幂 1.分数指数幂的意义 0 没有意义 2.有理数指数幂的运算法则 (1)asat＝ (s，t∈Q)； (2)(as)t＝ (s，t∈Q)； (3)(ab)s＝ (b>0，s∈Q). as＋t ast asbs 知识点三　实数指数幂 无理数指数幂at(a>0，t是无理数)是一个确定的 ，有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.因此当a>0，t为任意实数时，实数指数幂at都有意义，对任意实数s和t，类似有理数指数幂的运算法则仍然成立. 实数 1.当n∈N＋时，( )n都有意义.(　　) 2. .(　　) 3. ＝π－3.(　　) 4.0的任何指数幂都等于0.(　　) 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU × √ × × 2 题型探究 PART TWO 例1　 (1)若 有意义，则实数x的取值范围是　　 A.[2，＋∞) B.(－∞，2] C.(2，＋∞) D.(－∞，2) 一、根式与分数指数幂的互化 √ 解析　由负分数指数幂的意义可知， 所以x－2>0，即x>2， 所以x的取值范围是(2，＋∞). A. B. C. D. √ (3)(多选)下列各式正确的是 √ √ 反思感悟 根式与分数指数幂互化的规律及技巧 (1)规律：根指数 分数指数幂的分母. 被开方数(式)的指数 分数指数幂的分子. (2)技巧：当表达式中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简. 解　原式＝ ＝ . 跟踪训练1　将下列各式化为分数指数幂的形式： 解　原式＝ ＝ 二、根式、分数指数幂的化简与求值 (2) 解　原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3 (3) (a>0，b>0). 解　原式＝ 反思感悟 利用指数幂的运算法则化简求值的方法 (1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序. (2)在明确根指数的奇偶数(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算. (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示. 解　原式＝ (2) (x>0，y>0，z>0). 解　原式＝ ＝ 三、数式的条件求值问题 例3　已知 ＝3，求下列各式的值. (1)a＋a－1； 解　∵ ＝3，∴ ＝9， 即a＋2＋a－1＝9，∴a＋a－1＝7. 23 (2)a2＋a－2； 解　∵a＋a－1＝7， ∴(a＋a－1)2＝49，即a2＋2＋a－2＝49. ∴a2＋a－2＝47. (3) . 解　 ＝ (a－1＋a－1)＝3×(7－1)＝18. 反思感悟 条件求值问题的常用方法 (1)整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的