4.1.1 实数指数幂及其运算（同课异构课件）-2021-2022学年高一新教材数学人教B版必修第二册【步步高】学习笔记

【导学聚焦】 【自主预习】 底数 指数 0 【新知初探】 相反数 n次算术根 不存在 正数 负数 根式 根指数 被开方数 a |a| 无理数 任意实数 × × √ × 【自我检测】 【探究互动】 【达标反馈】 本课结束 4.1.1　实数指数幂及其运算 考点 学习目标 核心素养 根式的概念及运算性质 理解n次方根及根式的概念．正确运用根式的运算性质进行根式运算 数学抽象 实数指数幂 学会根式与分数指数幂之间的相互转化，掌握用有理指数幂的运算性质化简求值 数学运算 问题导学 预习教材内容，思考以下问题： 1．n次方根是怎样定义的？ 2．根式的定义是什么？它有哪些性质？ 3．有理指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？ 4．根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？ 5．如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？ 1．有理指数幂 (1)一般地，an中的a称为______，n称为______． (2)一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得____________，则x称为a的n次方根． ①0的任意正整数次方根均为______，记为____________． xn＝a ＝0 ②正数a的偶数次方根有两个，它们互为____________，其中正的方根称为a的____________，记为______，负的方根记为 ____________；负数的偶数次方根在实数范围内____________． ③任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为______．而且正数 的奇数次方根是一个______，负数的奇数次方根是一个______． － (3)当有意义的时候，称为______，n称为____________，a称为____________． 一般地，根式具有以下性质： ①()n＝a. ②＝ (4)一般地，如果n是正整数，那么：当有意义时，规定____________；当没有意义时，称a没有意义． 对于一般的正分数，也可作类似规定，即a＝______＝______．但值得注意的是，这个式子在不是既约分数(即m，n有大于1的公因数)时可能会有歧义． 负分数指数幂：若s是正分数，as有意义且a≠0时，规定a－s＝______． a＝ ()m 名师点拨 (1)()n中当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0，但中a∈R. (2)分数指数幂a不可以理解为个a相乘． (5)有理指数幂的运算法则：asat＝______，(as)t＝______，(ab)s＝______． as＋t ast asbs 2．实数指数幂 一般地，当a>0且t是____________时，at都是一个确定的实数．因此，当a>0时，t为____________时，可以认为实数指数幂at都有意义． 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当n∈N*时，(eq \r(n,－16))n都有意义．(　　) (2)任意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数．(　　) (3)eq \r(（3－π）2)＝π－3.(　　) (4)0的任何指数幂都等于0.(　　) 2.下列运算中，正确的是(　　) A．a2·a3＝a6 B．(－a2)5＝(－a5)2 C．(eq \r(a)－1)0＝0 D．(－a2)5＝－a10 【解析】a2·a3＝a5；(－a2)5＝－(a5)2； 当a＝1时，(eq \r(a)－1)0无意义； 当a≠1时，(eq \r(a)－1)0＝1. 【答案】D 3.化简：eq \r(2\f(1,4))－eq \r(3,－8)＋eq \r(4,\f(1,16))＝________． 【解析】原式＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2))－eq \r(3,（－2）3)＋eq \r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(4)) ＝eq \f(3,2)－(－2)＋eq \f(1,2)＝4. 【答案】4 【例1】(1)若(x－2)－有意义，则实数x的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．(－∞，2] C．(2，＋∞) D．(－∞，2) (2)化简－得(　　) A．6 B．－2x C．6或－2x D．6或2x或－2x 探究点一 根式与分数指数幂的互化 (3)用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)． ①eq \r(3,a)·eq \r(4,a)；② eq \r(a\r(a\r(a)))； ③eq \r(3,a2)·eq \r(a3)；④(eq \r(3,a))2·eq \r(ab3). (1)【解析】由负分数指数幂的意义可知， (x－2) －eq \s\up6(\f(3,4))＝eq \f(1,\r(4