6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例（配套课件）-2021-2022学年高一新教材数学人教A版必修第二册【步步高】学习笔记

第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例 第六章　 6.4.3　余弦定理、正弦定理 1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的 测量问题. 2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力. 学习目标 在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题，解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量. 具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案. 导语 随堂演练 课时对点练 一、距离问题 二、高度问题 三、角度问题 内容索引 一、距离问题 例1　如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，求A，B两点的距离. 解　在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD， 在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°， ∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°. 在△ABC中，由余弦定理，得 反思感悟　求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是 (1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形. (2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解. 跟踪训练1　(1)A，B两地之间隔着一个山岗，如图，现选择另一点C，测得CA＝7 km，CB＝5 km，C＝60°，则A，B两点之间的距离为 km. 解析　由余弦定理，得 AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos C (2)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是 m. 60 又AD＋DB＝120， ∴AD·tan 30°＝(120－AD)·tan 75°， 二、高度问题 例2　如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的 高是 √ 解析　在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°， ∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°， 反思感悟　测量高度问题的解题策略 (1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题. (2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路. 跟踪训练2　珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的.这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化.由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”.攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作.在测量过程中，已知竖立 在B点处的测量觇标高10米，攀登者们在A处测得到觇标 底点B和顶点C的仰角分别为70°，80°，则A，B 的高度差约为(sin 70°≈0.94) A.10米 B.9.72米 C.9.40米 D.8.62米 √ 解析　根据题意画出如图的模型， 则CB＝10，∠OAB＝70°，∠OAC＝80°， 所以∠CAB＝10°，∠ACB＝10°， 所以AB＝10，所以在Rt△AOB中，BO＝10sin 70°≈9.4(米). 三、角度问题 解　如图所示.设经过t小时两船在C点相遇， B＝180°－60°＝120°， ∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°， ∴∠DAC＝60°－30°＝30°， ∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇. 反思感悟　测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解. 由余弦定理，得 因为AB＝40 m， 所以AB＝PB，所以∠APB＝∠PAB＝30°，所以∠PBA＝120°. 因此测绘人员到达点B时，目标参照物P在他的北偏东60°方向上，且目标参照物P与他的距离为40 m. 1.知识清单：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：方位角是易错点. 课堂小结 随堂演练 1.若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC＝BC，则点A在点B的 A.北偏东