6.4.1 平面几何中的向量方法（配套课件）-2021-2022学年高一新教材数学人教A版必修第二册【步步高】学习笔记

6.4.1　平面几何中的向量方法 第六章　 §6.4　平面向量的应用 1.能用向量方法解决简单的几何问题. 2.体会向量在解决数学问题中的作用. 学习目标 向量集“数”与“形”于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量是几何研究的一个有效工具. 导语 随堂演练 课时对点练 一、用向量解决平面几何中的平行(或共线)问题 二、利用向量证明平面几何问题 三、利用平面向量求几何中的长度问题 内容索引 四、利用平面向量求几何中的角度问题 一、用向量解决平面几何中的平行(或共线)问题 反思感悟　用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 跟踪训练1　设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，AB∥DC，试用向量证明：PQ∥AB. 所以PQ∥AB. 二、利用向量证明平面几何问题 例2　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 则|a|＝|b|，a·b＝0. 方法二　如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2， 则A(0，0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)， ＝2－2＝0， 反思感悟　用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤： ①选取基底； ②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； ④把计算所得结果转化为几何问题. (2)向量的坐标运算法的四个步骤： ①建立适当的平面直角坐标系； ②把相关向量坐标化； ③利用向量的坐标运算找到相应关系； ④利用向量关系回答几何问题. 跟踪训练2　如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF. 证明　方法一　设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0<a<1)， 方法二　如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系. 设正方形ABCD的边长为1， 三、利用平面向量求几何中的长度问题 例3　在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长. ＝1＋4＋2a·b＝6， 反思感悟　用向量法求长度的策略 (1)根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解. (2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝ 跟踪训练3　在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边上的中线AD的长是 √ 四、利用平面向量求几何中的角度问题 (1)AD的长； (2)∠DAC的大小. 解　设∠DAC＝θ(0°<θ<120°)， ∴θ＝90°，即∠DAC＝90°. 反思感悟　用向量法求角度的策略 (1)将要求的角转化为两向量的夹角，再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值，然后求出该夹角，再转化为实际问题中的角即可. (2)要注意，两向量夹角和要求角的关系. 跟踪训练4　正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，则 cos∠DOE＝____. 解析　以OA，OC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示. 1.知识清单： (1)用向量解决平面几何中的平行(或共线)问题. (2)利用向量证明平面几何问题. (3)利用平面向量求几何中的长度. (4)利用平面向量求几何中的角度. 2.方法归纳：转化法、数形结合法. 3.常见误区：不能将几何问题转化为向量问题. 课堂小结 随堂演练 A.是正三角形 B.是直角三角形 C.是等腰三角形 D.形状无法确定 √ 1 2 3 4 2.已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为 A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 √ 1 2 3 4 3.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中点，则cos∠BDC等于 √ 1 2 3 4 解析　如图建立平面直角坐标系， 则B(0,0)，A(0,8)，C(6,0)，D(3,4)， 33 1 1 2 3 4 课时对点练 1.已知点A(－2，－3)，B(19,4)，C(－1，－6)，则△ABC是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 √ 基础巩固 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴△ABC为直角三角形. √ ∴四边形ABCD的面积 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3