6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（同课异构课件）-2021-2022学年高一新教材数学人教A版必修第二册【步步高】学习笔记

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 |第一阶段 课前自学质疑| 感知新课 确定重点 <素养导学> <预习关键词> × × × |第二阶段 课堂探究评价| 素养目标 学科素养 本课结束 平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，运算的表示方式也会改变．向量的坐标表示为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便．两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来， 我们学习了平面向量的数量积，那么数量积是否与向量的坐标有联系？ 数量积的坐标表示、模、夹角 深度预习 分步思考 1．向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a·b＝ ， 即两个向量的数量积等于 ． x1x2＋y1y2 它们对应坐标的乘积的和 小题体验 若向量a＝(1,1)，b＝(－1,2)，则a·b＝ . 答案：1　 解析：a·b＝1×(－1)＋1×2＝1. 2．平面向量坐标表示的几个公式 (1)向量模的坐标表示 若a＝(x，y)，则|a|2＝ ，或|a|＝eq \r(x2＋y2). (2)两向量垂直的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔ . (3)两向量夹角的余弦公式 设a，b是两个非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b 的夹角，则cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))). x2＋y2 x1x2＋y1y2＝0 小题体验 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1x2＋y1y2＝0. ( ) (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1y2－x2y1＝0. ( ) (3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ 一定是锐角． ( ) 预习验收 衔接课堂 1．若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且3a·b＝4，则x等于(　　)　　　　 　　　　　 　　　　 A．3 B．eq \f(1,3) C．－eq \f(1,3) D．－3 解析：∵3a·b＝3(2，－3)·(x,2x)＝6x－18x＝－12x＝4，∴x＝－eq \f(1,3). 答案：C　 2．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为(　　) A．eq \f(63,65) B．eq \r(65) C. eq \f(\r(13),5) D．eq \r(13) 答案：A　 解析：|a|＝eq \r(32＋42)＝5，|b|＝eq \r(52＋122)＝13， a·b＝3×5＋4×12＝63. 设a，b夹角为θ，所以cos θ＝eq \f(63,5×13)＝eq \f(63,65). 1．理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的 坐标表示进行向量数量积的运算．(重点) 2．能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离 公式．(重点) 3．能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直． (重点、难点) 1．数学运算； 2．数学抽象. 探究归纳 1 数量积的坐标运算 <切入命题点> 【例1】已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10. (1)求向量a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a. 解：(1)∵a与b同向，又b＝(1,2)， ∴可设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)． 又∵a·b＝10，∴1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝2>0， ∴a＝(2,4)． (2)∵b·c＝1×2＋2×(－1)＝0， ∴(b·c)·a＝0. 【例2】 已知正方形OABC两顶点坐标分别为O(0，0)，B(1,1)， 则eq \o(AB,\s\up13(→))·eq \o(AC,\s\up13(→))＝ . 解析：如图，正方形OABC中，A(0,1)，C(1,0)(两者位置可互换，不影响最终结果)，则eq \o(AB,\s\up13(→))＝(1,0)，eq \o(AC,\s\up13(→))＝(1，－1)，从而eq \o(AB,\s\up13(→))·eq \o(AC,\s\up13(→))＝(1,0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1. 答案：1　 <总结核心点> 进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2， 并能灵活运用以下几个关系： ①|a|2＝a