6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（配套课件）-2021-2022学年高一新教材数学人教A版必修第二册【步步高】学习笔记

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 第六章　 §6.3　平面向量基本定理及坐标表示 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算. 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题. 学习目标 同学们，前面我们学习了平面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”去描述向量的加法、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标去表示两向量的数量积呢？ 导语 随堂演练 课时对点练 一、平面向量数量积的坐标表示 二、平面向量的模 三、平面向量的夹角、垂直问题 内容索引 一、平面向量数量积的坐标表示 问题　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？ 提示　i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0. ∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j， ∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j) ＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2. 又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0， ∴a·b＝x1x2＋y1y2. 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a·b＝ . x1x2＋y1y2 知识梳理 例1　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于 A.10 B.－10 C.3 D.－3 √ 解析　a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)， 所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. (2)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x等于 A.6 B.5 C.4 D.3 √ 解析　由题意可得，8a－b＝(6,3)， 又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)， ∴18＋3x＝30，解得x＝4. 反思感悟　进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系 (1)|a|2＝a·a. (2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2. (3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. 解析　建立平面直角坐标系如图所示， 则A(0,2)，E(2,1)，D(2,2)，B(0,0)，C(2,0)， 二、平面向量的模 1.若a＝(x，y)，则|a|2＝ 或|a|＝ . 2.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ . x2＋y2 知识梳理 例2　设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于 √ 解析　∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0， 反思感悟　求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方. √ 解析　∵a＝(2,1)，∴a2＝5， 即a2＋2a·b＋b2＝50， ∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5. 三、平面向量的夹角、垂直问题 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. x1x2＋y1y2＝0 知识梳理 2.a⊥b⇔ . 注意点： (1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆. (2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角. 例3　已知a＝(4,3)，b＝(－1,2). (1)求a与b夹角的余弦值； 解　因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2， (2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值. 解　因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)， 又(a－λb)⊥(2a＋b)， 反思感悟　解决向量夹角问题的方法及注意事项 (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝ 判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. √ (2)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m，1).若向量a＋b与a垂直，则m＝_____. 解析　∵a＝(－1,2)，b＝(m，1)， ∴a＋b＝(－1＋m，2＋1)＝(m－1,3). 又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0， 即(m－1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m＝7. 7 1.知识清单： (1)平面向量数量积的坐标表示. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b为非零向量). 课