6.3.4 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示（同课异构课件）-2021-2022学年高一新教材数学人教A版必修第二册【步步高】学习笔记

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 素养目标·定方向 素养目标 学法指导 1．了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.(逻辑推理) 2．理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则.(数学运算) 1．平面向量运算的坐标表示依然可以类比数的运算来学习，注意坐标运算的二维特征. 2．由于使用了正交分解，因此平面向量的坐标运算其实是同名坐标之间的运算. 必备知识·探新知 1．平面向量正交分解的定义 把一个向量分解为两个_______的向量，叫做把向量作正交分解. 2．平面向量的坐标表示 (1)定义：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个___________分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝_________.我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).此式叫做向量a的坐标表示. (2)特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0). 平面向量的正交分解及坐标表示 知识点 垂直　 单位向量　 (x，y)　 [知识解读]　点的坐标与向量坐标的区别和联系 点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和方向，向量仅由大小和方向决定，与位置无关. 1．联系：(1)当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标. 2．区别：(1)书写不同，如a＝(1,2)，A(1,2). (2)给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一个有序实数对，由于向量可以平移，故以这个有序实数对为坐标的向量有无穷多个.因此，符号(x，y)在平面直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量.为了加以区分，在叙述中，常说点(x，y)或向量(x，y). 3．平面向量的坐标运算 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：   文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的_____ a＋b＝___________________ 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的_____ a－b＝___________________ 和　 (x1＋x2，y1＋y2)　 差　 (x1－x2，y1－y2)　 相应坐标　 (λx1，λy1)　 (x2－x1，y2－y1)　 关键能力·攻重难 题型探究 题型一 平面向量的坐标表示 典例 1 A　 题型二 平面向量的坐标运算 典例 2 [归纳提升]　平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比实数的运算进行. A　 题型三 平面向量坐标运算的综合应用 典例 3 已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1，3)，C(3,4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点. [归纳提升]　平行四边形顶点坐标的求解 (1)已知平行四边形的三个顶点的坐标求第四个顶点的坐标主要是利用平行四边形的对边平行且相等这个性质，则其对应的向量相等，即向量的坐标相等. (2)当平行四边形的顶点顺序未确定时，要分类讨论. D　 易错警示 典例 4 误把向量的坐标当作点的坐标 [误区警示]　向量的坐标反映的是向量的长度和向量的方向，与终点坐标无关，只有当向量的始点是坐标原点时，向量的坐标与终点的坐标才是一致的. 本课结束 (2)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同.即 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝x2，,y1＝y2.)) 注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的 起点、终点的坐标却可以不同. 文字描述 符号表示 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的___________ λa＝_____________ 向量 坐标 公式 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则eq \o(AB,\s\up18(→))＝______________ 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3， ∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，eq \o(OA,\s\up18(→))＝a，eq \o(AB,\s\up18(→))＝b.四边形OABC为 平行四边形. (1)求向量a，b的坐标. (2)求向量eq \o(BA,\s\up18(→))的坐标. (3)求点B的坐标. [解]　(1)作AM