6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示（配套课件）-2021-2022学年高一新教材数学人教A版必修第二册【步步高】学习笔记

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 第六章　 §6.3　平面向量基本定理及坐标表示 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示. 学习目标 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.那么，如何用坐标表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 导语 随堂演练 课时对点练 一、平面向量的坐标表示 二、平面向量加、减法的坐标表示 三、平面向量坐标运算的应用 内容索引 一、平面向量的坐标表示 问题1　如图，在光滑斜面上的一个木块受到了哪些力的作用？这些力之间有什么关系？ 提示　该木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用沿斜面下滑；二是木块产生垂直于斜面的压力F2，也就是说，重力G的效果等价于力F1和F2的合力的效果，即G＝F1＋F2. 问题2　如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，可以用{i，j}表示成什么？ 提示　由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj. 1.把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量作正交分解. 2.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个 分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝ ，则有序数对 叫做向量a的坐标. 3.坐标表示：a＝ . 4.特殊向量的坐标：i＝ ，j＝ ，0＝(0,0). 互相垂直 单位向量 知识梳理 xi＋yj (x，y) (x，y) (1,0) (0,1) 注意点： (1)表示点的坐标与表示向量的坐标不同，A(x，y)，a＝(x，y). (2)当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同 √ 反思感悟　求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标. (2)求一个向量的坐标，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标. 二、平面向量加、减法的坐标表示 问题3　已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b的坐标吗？ 提示　a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2).同理可得a－b＝(x1－x2，y1－y2).   符号表示 加法 a＋b＝( ， ) 减法 a－b＝( ， ) 重要结论 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝_______________ 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有下表， x1＋x2 y1＋y2 知识梳理 x1－x2 y1－y2 (x2－x1，y2－y1) 注意点： 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 反思感悟　平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行运算. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. A.(－7，－4) B.(7,4) C.(－1,4) D.(1,4) √ 解析　方法一　设C(x，y)，O(0,0)， 即x＝－4，y＝－2， 三、平面向量坐标运算的应用 (1)点P在第一、三象限的角平分线上； 解　设点P的坐标为(x，y)， ＝(3,1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ). 若点P在第一、三象限的角平分线上， 则5＋5λ＝4＋7λ， (2)点P在第三象限内. 反思感悟　坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件：相等向量的对应坐标相等. (2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标. 解　设点D的坐标为(x，y)， 跟踪训练3　已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D的坐标，使这四点为平行四边形的四个顶点. 故点D的坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0). 1.知识清单： (1)平面向量的正交分解及坐标表示. (2)平面向量加、减运算的坐标表示. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：已知A，B两点求 的坐标时，一定是用终点的坐标减去起点的坐标. 课堂小结 随堂演练 1