6.3.1 平面向量基本定理（配套课件）-2021-2022学年高一新教材数学人教A版必修第二册【步步高】学习笔记

6.3.1　平面向量基本定理 第六章　 §6.3　平面向量基本定理及坐标表示 1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义. 2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量. 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题. 学习目标 七个音符谱出千支乐曲，二十六个字母写就百态文章！ 在多样的平面向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？ 导语 随堂演练 课时对点练 一、平面向量基本定理 二、用基底表示向量 三、平面向量基本定理的应用 内容索引 一、平面向量基本定理 问题1　如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量.请你将向量a分解成图中所给的两个方向上的向量. 提示　分解方法唯一.如果a还可以表示成μ1e1＋μ2e2的形式，那么λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，可得(λ1－μ1)e1＋(λ2－μ2)e2＝0，由此式可推出λ1－μ1，λ2－μ2全为0(假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0，不妨假设λ1－μ1≠0，则e1＝ 由此可得e1，e2共线，这与e1，e2不共线矛盾，即λ1＝μ1，λ2＝μ2，因此，分解方法是唯一的. 问题2　上述问题中的分解方法是否唯一？为什么？ 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a， 实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.基底：若e1，e2 ，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 注意点： (1)同一平面内基底有无数多个，只要两向量不共线即可. (2)当基底确定后，任意向量的表示法是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的. 不共线 任一 知识梳理 有且只有一对 不共线 例1　(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是 A.e1＋e2和e1－e2 B.3e1－4e2和6e1－8e2 C.e1＋2e2和2e1＋e2 D.e1和e1＋e2 √ 解析　选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴6e1－8e2与3e1－4e2共线， ∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底. √ √ 反思感悟　考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示. 跟踪训练1　已知向量{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝____. 解析　因为{a，b}是一个基底， 所以a与b不共线， 3 所以x－y＝3. 二、用基底表示向量 解　因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点， 反思感悟　用基底表示向量的一般方法 (1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算. (2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量. a＋b 2a＋c 三、平面向量基本定理的应用 例3　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值. ∵A，P，M和B，P，N分别共线， 由平面向量基本定理， ∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2. 反思感悟　(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决. 1.知识清单： (1)平面向量基本定理. (2)用基底表示向量. (3)平面向量基本定理的应用. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量. 课堂小结 随堂演练 1.(多选)下列选项中，正确的是 A.基底中的向量可以有零向量 B.一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底 C.一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底 D.平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是 唯一确定的 √ 1 2 3 4 √ √ 1 2 3 4 A.x＋y－2＝0 B.2x＋y－1＝0 C.x＋2y－2＝0 D.2x＋y－2＝0 √ 1 2 3 4 26 1 2 3 4 课时对点练 1.(多选)设点O是平行四边形ABCD两对角线的交点