6.2.4 向量的数量积（同课异构课件）-2021-2022学年高一新教材数学人教A版必修第二册【步步高】学习笔记

6.2.4　向量的数量积 第一阶段 课前自学质疑 感知新课 确定重点 素养导学 预习关键词 非零向量 反向 同向 ∠AOB × √ × √ × B D 第二阶段 课堂探究评价 素养目标 学科素养 本课结束 一只猴子捡到一把钝刀，连小树也砍不断．于是它向砍柴人请教．砍柴人说：“把刀放到石头上磨一磨．”于是猴子高兴地飞奔回去，立刻把刀放在一块石头上拼命地磨．直到它发现刀口和刀背差不多厚了，便停了下来……结果当然是失败的．难道猴子没有做功吗？不．难道猴子没有用心吗？也不是．物理中的做功在数学中叫做什么？又是如何表示的呢？ 数量积、夹角、投影、模 深度预习 分步思考 1．两向量的夹角与垂直 (1)夹角：已知两个 a，b，O是平面上的任意一点， 作eq \o(OA,\s\up13(→))＝a，eq \o(OB,\s\up13(→))＝b，则 ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． ①向量a与b的夹角的范围是0≤θ≤π. ②当θ＝0时，a与b ． ③当θ＝π时，a与b ． (2)垂直：如果a与b的夹角是eq \f(π,2)，则称a与b垂直，记作a⊥b. 小题体验 已知向量a，b的夹角为eq \f(π,3)，试求下列向量的夹角： 解：(1)－a，b；(2)2a，eq \f(2,3)b. (1)向量－a，b的夹角为eq \f(2π,3). (2)向量2a，eq \f(2,3)b的夹角为eq \f(π,3). 2．向量的数量积的概念 条件 非零向量a与b，a与b的夹角为θ 结论 数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积) 记法 向量a与b的数量积记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ 规定 零向量与任一向量的数量积为0 3.投影向量 (1)条件：向量a与b的夹角为θ(θ∈[0，π])，设与b方向 相同的单位向量为e. (2)投影向量：向量a在b方向上的投影向量eq \o(OM1,\s\up13(→))＝|a|cos θ e. 小题体验 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)向量a在向量b上的投影一定是正数．( ) (2)一个向量在另一个向量方向上的投影向量是一个向量．( ) 4．向量数量积的重要性质 设a，b是非零向量，它们的夹角为θ.e是与b方向相同的单位向量， 则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a，b同向时，a·b＝|a||b|；当a，b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a). (4)|a·b|≤|a||b|. 5．平面向量数量积的运算律 交换律 a·b＝b·a 对数乘的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 小题体验 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)向量的数量积运算满足(a·b)·c＝a·(b·c)． ( ) (2)已知a≠0，且a·c＝a·b，则b＝c. ( ) (3)λ(a·b) ＝(λa)·b. ( ) 预习验收 衔接课堂 1．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为eq \f(π,3)，则a·b等于(　　) A．1　　　 B．2 C．3 D．4 【答案】A　 【解析】a·b＝1×2×coseq \f(π,3)＝1，故选A. 2．在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝eq \r(2)， 则eq \o(BA,\s\up13(→))·eq \o(BC,\s\up13(→))的值等于(　　) A．－2 B．2 C．－2eq \r(2) D．2eq \r(2) 【答案】B　 【解析】eq \o(BA,\s\up13(→))·eq \o(BC,\s\up13(→))＝|eq \o(BA,\s\up13(→))||eq \o(BC,\s\up13(→))|cos∠ABC＝2×eq \r(2)×cos 45°＝2. 3．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝eq \f(1,3). 若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( ) A．4 B．－4 C．eq \f(9,4) D．－eq \f(9,4) 4．在△ABC中，eq \o(AB,\s\up13(→))＝a，eq \o(BC,\s\up13(→))＝b，且a·b>0， 则△ABC是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 1．了解平面向量数量积的物理背景． 2．掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解投影向量． (重点、难点