6.4.3 向量的数乘运算（同课异构课件）-2021-2022学年高一新教材数学人教A版必修第二册【步步高】学习笔记

6.2.3　向量的数乘运算 第一阶段 课前自学质疑 感知新课 确定重点 素养导学 素养导学 预习关键词 向量 向量的数乘 加、减、数乘 × × √ C C 第二阶段 课堂探究评价 素养目标 学科素养 本课结束 狗、猫和老鼠 老鼠由B处以6 m/s的速度向正东奔跑，狗由A处以6 m/s的速度向正西奔跑，猫由A处以5 m/s的速度向正东奔跑(如图)，问：老鼠和狗能否相遇？猫和老鼠能否相遇？可以用向量解决这个问题吗？ 数乘运算、线性运算、共线向量定理 深度预习 分步思考 1．向量的数乘运算 (1)向量的数乘运算的概念 实数λ与向量a的积是一个 ，这种运算叫做 ， 记作λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②λa(a≠0)的方向eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(当 时，与a的方向相同；,当λ<0时，与a的方向相反.)) 特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0. λ>0 (2)向量数乘的运算律 ①λ(μa)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb. (3)向量的线性运算 向量的 运算统称为向量的线性运算．对于任意 向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 小题体验 设λ，μ∈R，下面的叙述不正确的是(　　) A．λ(μa)＝(λμ)a B．(λ＋μ)a＝λa＋μa C．λ(a＋b)＝λa＋λb D．λa与a的方向相同(λ≠0) 【解析】当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时， λa与a方向相反． 【答案】D　 2．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件：存在唯一一个实数λ， 使b＝λa. 小题体验 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa. ( ) (2)若b＝λa，则a与b共线． ( ) (3)若λa＝0，则a＝0. ( ) 预习验收 衔接课堂 1．下列各式中，计算正确的有( ) ①(－7)×6a＝－42a； ②7(a＋b)－8b＝7a＋15b； ③a－2b＋a＋2b＝2a； ④4(2a＋b)＝8a＋4b. A．1个 B．2个　　　C．3个　　　D．4个 2．在△ABC中，M是BC的中点，则eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(AC,\s\up13(→))等于( ) A．eq \f(1,2) eq \o(AM,\s\up13(→)) B．eq \o(AM,\s\up13(→)) C．2eq \o(AM,\s\up13(→)) D．eq \o(MA,\s\up13(→)) 1．了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义．(难点) 2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行 向量运算．(重点) 3．理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用 这些知识处理有关共线向量问题．(重点) 1．数学运算； 2．直观想象. 探究归纳 1 向量的线性运算 切入命题点 【例1】化简下列各式： (1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； (2)eq \f(1,6)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]． 解：(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b. (2)原式＝eq \f(1,6)(4a＋16b－16a＋8b)＝eq \f(1,6)(－12a＋24b)＝－2a＋4b. 总结核心点 向量的数乘运算类似于代数中多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形方法在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作向量的系数． 训练得分点 化简eq \f(2,3)[(4a－3b)＋eq \f(1,3)b－eq \f(1,4)(6a－7b)]＝ . 【答案】eq \f(5,3)a－eq \f(11,18)b　 【解析】原式＝eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a－3b＋\f(1,3)b－\f(3,2)a＋\f(7,4)b)) ＝eq \f(2,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(3,2)))a＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3＋\f(1,3)＋\f(7,4)))b)) ＝eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)a－\f(11,12)b))＝eq \f(5,3)a－