6.2.1 向量的加法运算（配套课件）-2021-2022学年高一新教材数学人教A版必修第二册【步步高】学习笔记

6.2.1　向量的加法运算 第六章　 §6.2　平面向量的运算 1.理解并掌握向量加法的概念. 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这 两个法则作两个向量的加法运算. 3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的 合理性. 学习目标 我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷，那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？ 唐僧当年取经的路线是从东土大唐出发，先绕到新疆，再往天竺，若孙悟空单独前往，可以直接飞往西天，两种走法的位移相同吗？如果把位移看成向量，我们就引入了向量的运算. 导语 随堂演练 课时对点练 一、向量加法的三角形法则 二、向量加法的平行四边形法则 三、共线向量的加法与向量加法的运算律 内容索引 四、向量加法的实际应用 一、向量加法的三角形法则 问题1　某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？ 注意点： 运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾连”. 三角形 知识梳理 例1　如图所示， (1)a＋b＝____； (2)c＋d＝___； (3)a＋b＋d＝___； (4)c＋d＋e＝___. c f f g 反思感悟　向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，即 二、向量加法的平行四边形法则 问题2　图(1)表示橡皮条ME在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向伸长了EO；图(2)表示橡皮条ME在一个力F的作用下，沿相同方向伸长了相同长度EO.从力学的观点分析，力F与F1，F2之间的关系如何？你能从这个问题出发，给出求解向量之和的另一种方法吗？ 提示　F＝F1＋F2　平行四边形法则 1.以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量 (OC是▱OACB 的对角线)就是向量a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 法则. 平行四边形 知识梳理 2.从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的. 3.对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. 注意点： 运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个向量起点相同. 例2　(1)如图①所示，求作向量a＋b； 如图③所示. (2)如图②所示，求作向量a＋b＋c. 解　方法一　(三角形法则)如图④所示， 方法二　(平行四边形法则)如图⑤所示， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD， 再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE， 反思感悟　向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系   区别 联系 三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何两个非零向量求和 当两个向量不共线时，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 (1)共起点 (2)仅适用于不共线的两个向量求和 跟踪训练1　如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量. 解析　因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线， 0 三、共线向量的加法与向量加法的运算律 问题3　请结合例1，探索一下|a＋b|与|a|，|b|之间的关系？ 提示　(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b方向不同，且|a＋b|<|a|＋|b|. (2)当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|. (3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|. 问题4　我们知道实数的加法满足交换律与结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？你能证明自己的猜想吗？ 所以a＋b＝b＋a. 借助右图，不难证明满足结合律. 1.一般地，我们有|a＋b|≤ ，当且仅当a，b方向 时等号成立. 2.(加法交换律)a＋b＝b＋a； (加法结合律)a＋(b＋c)＝ . |a|＋|b| 相同 知识梳理 (a＋b)＋c 例3　化简： 反思感悟　向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. (2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 跟踪训练2　已知正方形ABCD的边长等于1， 四、向量加法的实际应用 例4　(教材P9例2改编)河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船在静水中的速度为