第5章　特殊的平行四边形——正方形　期末复习压轴题高分训练　2021—2022学年浙教版数学八年级下册

期末复习压轴题特训-正方形 【知识点巩固】 1．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2．正方形的性质： （1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质； （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等； （3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角； （4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴； （5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形； （6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。 3．正方形的判定 判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种： 一是先证它是矩形，再证有一组邻边相等。即有一组邻边相等的矩形是正方形。 二是先证它是菱形，再证有一个角是直角。即有一个角是直角的菱形是正方形。 4．正方形的面积：设正方形边长为a，对角线长为b ，S= 【典型例题】 例1．如图，正方形ABCD的边长为2，Q为CD边上（异于C，D）的一个动点，AQ交BD于点M．过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下面结论：①AM＝MN；②MP＝；③△CNQ的周长为3；④BD+2BP＝2BM，其中一定成立的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①④ 【解答】解：连接AC交BD于O，作ME⊥AB于E，MF⊥BC于F，延长CB到H，使得BH＝DQ． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AC＝AD＝2，OA＝OC＝，∠DBA＝∠DBC＝45°， ∴ME＝MF， ∵∠MEB＝∠MFB＝∠EBF＝90°， ∴四边形EMFB是矩形， ∵ME＝MF， ∴四边形EMFB是正方形， ∴∠EMF＝∠AMN＝90°， ∴∠AME＝∠NMF， ∵∠AEM＝∠MFN＝90°， ∴△AME≌△NMF（ASA）， ∴AM＝MN，故①正确， ∵∠OAM+∠AMO＝90°，∠AMO+∠NMP＝90°， ∴∠AMO＝∠MNP， ∵∠AOM＝∠NPM＝90°， ∴△AOM≌△MPN（AAS）， ∴PM＝OA＝，故②正确， ∵DQ＝BH，AD＝AB，∠ADQ＝∠ABH＝90°， ∴∠ADQ≌△ABH（SAS）， ∴AQ＝AH，∠QAD＝∠BAH， ∴∠BAH+∠BAQ＝∠DAQ+∠BAQ＝90°， ∵AM＝MN，∠AMN＝90°， ∴∠MAN＝45°， ∴∠NAQ＝∠NAH＝45°， ∴△ANQ≌△ANH（SAS）， ∴NQ＝NH＝BN+BH＝BN+DQ， ∴△CNQ的周长＝CN+CQ+BN+DQ＝4，故③错误， ∵BD+2BP＝2BO+2BP＝2AO+2BP＝2PM+2BP， ∴BD+2BP＝2BM，故④正确． 故选：C． 例2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，AE与BF相交于点G，连接AC交BF于点H．若CE＝DF，BG＝GH，AB＝2，则△CFH的面积为（　　） A．3﹣4 B．3﹣2 C． D． 【解答】解：如图，过点F作FM⊥CH于点M． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝2，∠BAC＝，∠ACD＝． ∴AC＝，∠BAC＝45°，∠ACD＝45°． 又∵CE＝DF， ∴BC﹣CE＝CD﹣DF． ∴BE＝CF． 在△ABE和△BCF中， ∴△ABE≌△BCF（SAS）． ∴∠1＝∠2． 又∵∠ABE＝∠ABG+∠2＝90°， ∴∠ABG+∠1＝90°． ∴∠AGB＝180°﹣（∠ABG+∠1）＝90°． 又∵BG＝GH， ∴AH＝AB＝2． ∴CH＝AC﹣AH＝﹣2． 在△ABG和△AHG中， ∴△ABG≌△AHG（SSS）． ∴∠1＝∠HAG． ∴∠BAC＝∠1+∠HAG＝2∠1＝45°． ∴∠1＝22.5°． ∴∠2＝∠1＝22.5°． ∴∠BFC＝180°﹣∠2﹣∠BCF＝180°﹣22.5°﹣90°＝67.5°． ∴∠CHF＝180°﹣∠HCF﹣∠HFC＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°． ∴∠CHF＝∠CFH． ∴CH＝CF＝． ∵MF⊥HC，∠ACD＝45°， ∴∠MFC＝180°﹣∠FMC﹣∠MCF＝45°． ∴FM＝MC． 在△FMC中，FC2＝MC2+MF2． ∴＝2MF2． ∴MF＝2﹣． ∴＝＝． 故选：A． 例3．如图1，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），AE交对角线BD于点G，GF⊥AE交BC于点F． （1）求证：AG＝FG． （2）若AB＝10，BF＝4，求BG的长． （3）如图2，连接AF，EF，若AF＝AE，求正方形ABCD与△CEF的面积之比． 【解答】证明：（1）连接GC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝4