第2章　一元二次方程　期末复习压轴题高分训练　2021—2022学年浙教版数学八年级下册

期末复习压轴题特训-一元二次方程 【知识点巩固】 1．一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 2．一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 3．一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 4．一元二次方程的解法 （1）直接开方法：适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。 （2）配方法：套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①将已知方程化为一般形式； ②化二次项系数为1； ③常数项移到右边； ④方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根． （3）公式法： 当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 其中：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。 ①Δ=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。 ， ②Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。 ③Δ=b2-4ac＜0时，方程无实数根。 定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。 （4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。 5.解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤 第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系； 第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数； 第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程； 第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法； 第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。 第6步：答。 6.①一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 ②.根与系数的关系的应用，主要有如下方面： （1）验根； （2）已知方程的一根，求另一根； （3）求某些代数式的值； （4）求作一个新方程。 【典型例题】 例1．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+n＝0的根，则m+n的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【解答】解：把x＝n代入方程x2+mx+n＝0得n2+mn+n＝0，∵n≠0， ∴n+m+1＝0，即m+n＝﹣1．故选：C． 例2．若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别是﹣，5，则方程a（x﹣1）2+bx＝b﹣2c的两根为（　　） A．﹣，6 B．﹣3，10 C．﹣2，11 D．﹣5，21 【解答】解：∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别是﹣，5， ∴＝﹣，， ∴，， 解方程a（x﹣1）2+bx＝b﹣2c得， （x﹣1）2+（x﹣1）+＝0， ∴（x﹣1）2﹣7（x﹣1）﹣30＝0， （x﹣1+3）（x﹣1﹣10）＝0， ∴x1＝﹣2，x2＝11， 故选：C． 例3．已知关于x的方程（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]＝0（k是常数），则下列说法中正确的是（　　） A．方程一定有两个不相等的实数根 B．方程一定有两个实数根 C．当k取某些值时，方程没有实数根 D．方程一定有实数根 【解答】解：化简方程（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]＝0，得（k﹣1）x2﹣2x﹣k+3＝0， 当k＝1时方程为一元一次方程，只有一个实数根， 当k≠1时，∵b2﹣4ac＝4﹣4×（4k﹣k2﹣3）＝4k2﹣16k+16＝4（k﹣2）2≥0， ∴方程一定有实数根． 故选：D． 例4．一张长方形的会议桌，长3米，宽2米，有一块台布的面积是桌面面积的1.5倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，则台布各边垂下的长度是　　米．（结果保留根号） 【解答】解：设各边垂下的长度为x米， 根据题意得：（3+2x）（2+2x）＝1.5×2×3， 化简得4x2+10x﹣3＝0，解这个方程得：x＝， 因为x＝不符合题意，舍去， 答：台布各边垂下的长度是米． 故答案为：． 例5．已知关于x的一元一次方程3x﹣6＝0与一元二次方程x2+bx+c＝0有一个公共解，若关于x的一元二次方程