2021-2022学年必修二专题一 奔驰定理

2021-2022学年必修二素养提升检测（湘教版） 专题一 奔驰定理（解析版） 奔驰定理：设a,b,c为ΔABC中角A,B,C所对的边，为内一点，，则. 重要结论：，，. 结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则：.即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积. 结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有. 结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为.即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比. 结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为. 【范例1】设点在的内部，且，若的面积是27，则的面积为（ ） A．9 B．8 C． D．7 【答案】A 【详解】方法一延长OC到D，使得OD=2OC,因为，所以， 以OA，OD为边作平行四边形OAED,对角线交点为F,OE交AC于H,因为,所以, 因为OC:AE=1:2,所以OH:HE=1:2,所以,所以, 所以的面积是面积的，所以的面积为9.故选：A 方法二：奔驰定理,所以的面积为9.故选：A 【范例2】在中，为其内部一点，且满足，则和的面积比是（ ） A．3：4 B．3:2 C．1:1 D．1:3 【答案】D 【解析】 取 中点 ,则由 得 ,所以, 在线段上,因此 ，选D. 方法二：由奔驰定理可得面积比为1:3，所以选D. 【范例3】设O为△ABC所在平面内一点，满足273，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（ ） A．6 B． C． D．4 【答案】D 【解析】 不妨设，如图所示， 根据题意则， 即点O是△A1B1C1的重心，所以有k， 又因为， 那么， ， 故△ABC的面积与△BOC的面积的比值为. 方法二：由奔驰定理可得 【范例4】在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（       ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】利用三角形面积公式，推出点O到三边距离相等。 【详解】记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心. 故选：B 【范例5】．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则（ ） A．为的外心 B． C． D． 【答案】BCD 【详解】 解：因为， 同理，，故为的垂心，故A错误； ，所以， 又，所以， 又，所以，故B正确； 故，同理， 延长交与点，则 ， 同理可得，所以，故C正确； ， 同理可得，所以， 又，所以，故D正确． 故选：BCD． 【素养提升体验】 1.（2020湖北武汉市第一中学高一检测）点为内一点，，则的面积之比是___________. 【答案】 【解析】解：因为，所以， 设为中点，为中点，为三角形的中位线，则， 因为， 可得，所以三点共线，且， 则，， 分别设， 由图可知，，， 则，所以，而，所以， 所以，， 所以， 即的面积之比等于. 故答案为：. 方法二：由奔驰定理可得，因为即的面积之比等于. 2.（2021.江苏镇江高级中学高一）已知D是的边AB的中点，点M在DC上，且满足，则与的面积之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，分别是，的边上的高， ∵是的边的中点， ∴，∵， ∴，即， ∵，，∴， 又∵， ∴，即，则， ∴，即与的面积之比为.故选：A. 方法二：由奔驰定理可得，因为，即与的面积之比为5:3. 3.（重庆市主城区六校2020-2021学年高一下学期期末联考数学试题）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则(       ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由O是垂心，可得，结合可得，根据三角形内角和为π，结合正切的和差角公式即可求解. 【详解】∵是的垂心，延长交与点， ∴ ， 同理可得，∴：，又， ∴，又， ∴，不妨设，其中， ∵，∴，解得或， 当时，此时，则都是钝角，则，矛盾. 故，则，∴是锐角，， 于是，解得.故选：A. 4.（2021.重庆八中高一期末试题）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车