2021-2022学年必修二专题三 平面向量共线问题

2021-2022学年必修二素养提升检测（湘教版） 专题三 平面向量共线问题（解析版） 方法一：定义法 方法依据：向量（）与共线的充要条件是：存在唯一实数，使得. 【范例1】．（2022·黑龙江·牡丹江一中高一阶段练习）已知空间向量，且，则一定共线的三点是（　　） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【解析】对于A中，由向量，且， 可得，所以，所以三点共线，所以A正确； 对于B中，向量， 设，可得，所以，此时方程组无解， 所以三点不共线，所以B错误； 对于C中，向量， 设，可得，所以，此时方程组无解， 所以三点不共线，所以C错误； 对于D中，由且， 设，可得，所以，此时方程组无解， 所以三点不共线，所以D错误； 故选：A. 【范例2】．（2022·四川·攀枝花七中高一阶段练习（理））已知的三个内角分别为为平面内任意一点，动点满足则动点P的轨迹一定经过的（       ） A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 【答案】A 【解析】在中，令线段的中点为，由正弦定理， 得，由， 得 即，而， 则，于是得与同向共线，而它们有公共起点， 即动点的轨迹是射线除点A外),又重心在线段上， 动点的轨迹一定经过的重心． 故选：A. 【范例3】．（2022·全国·高一专题练习）设两个非零向量与不共线． (1)若，，，求证：，，三点共线； (2)试确定实数，使和反向． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】(1)证明： ， ，且，与共线，且与有公共点， ，，三点共线； (2)：设，，且不共线， 根据平面向量基本定理得：，解得或（舍去）． 方法二：坐标法 方法依据：设，，. 【范例1】．（2022·武威一中高一检测）已知，，且，则锐角等于（       ） A．45° B．30° C．60° D．30°或60° 【答案】A 【解析】因为，所以， 得，即，因为为锐角， 所以，即. 故选：A 【范例2】．（2022·河南郑州·高二阶段练习（理））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，若，则角B的大小为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于， 所以， 由正弦定理得， ， ，， 由于，所以，所以，由于，所以. 故选：B 方法三：三点共线法 方法依据：若三点共线且 【范例1】．．（2022·天津市宁河区芦台第一中学高一阶段练习）如图，在中，，，交于F，设，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以，因为三点共线， 所以， 因为三点共线，所以， 所以，解得，所以， 故选：B 【范例2】（2022·银川二中模拟）如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，，若，，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由条件可得， ∵ ∴， 因为三点共线， ∴，∴， ∵， ∴，则； 当且仅当，即时取等号，故的最小值是；故选：C． 【素养提升体验】 1．（江西省2021-2022学年高一下学期期中调研测试数学试题）已知平面向量，则（       ） A．-2 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，解得：. 故选：B． 2．（2022·福建省华安县第一中学高一阶段练习）设与是不共线的非零向量，若与共线且方向相同，则为（       ） A． B．1 C． D．任意不为零的实数 【答案】B 【解析】：设，且， 因为与是不共线的非零向量，所以，因为，故解得． 故选：B． 3．（2022·安徽宣城·二模（理））已知向量，，与的夹角为钝角，则实数m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由与的夹角为钝角易知，且不共线，即且，解得且. 故选：D. 4．（2022·全国·高一专题练习）设向量，，，其中O为坐标原点，，，若A，B，C三点共线，则的最小值为（       ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【解析】由题设，，，A，B，C三点共线， ∴且，则，可得， ∴，当且仅当时等号成立. ∴的最小值为. 故选：A 5．（2022·吉林·长春外国语学校高一阶段练习）如图，在△中，，是上的一点，若，则实数的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，又，则， 故 因为三点共线，故可得，解得. 故选：A. 6．（2022·安徽蚌埠·三模（文））如图，在梯形中，且，点为线段的靠近点的一个四等分点，点为线段的中点，与交于点，且，则的值为（       ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】根据向量的线性运算