2021-2022学年必修二专题二 平面向量与三角形“四心”问题

2021-2022学年必修二素养提升检测（湘教版） 专题二 平面向量与三角形的四心问题（解析版） 1、三角形的四心，指的是三角形的垂心、重心、内心、外心． （1）三角形的垂心是指三条高线的交点．垂心常用字母H来表示． （2）三角形的垂心是指三条中线的交点．重心常用字母G来表示．重心到顶点的距离是它到对边中点距离的二倍． （3）三角形的内心是指三条内角平分线的交点．内心常用字母I来表示．内心到三边的距离相等． （4）三角形的外心是指三边的中垂线的交点外心常用字母O来表示．外心到三角形三个顶点的距离相等． 2、三角形四心的向量表现形式：设O为△ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则 （1）O为△ABC的外心⇔||=||=||=. (2)O为△ABC的重心⇔++=0. （3）O为△ABC的垂心⇔·=·=·.（4）O为△ABC的内心⇔a+b+c=0. 【范例1】．已知O是平面上的一个定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足, ,则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ） A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心 【答案】B 【解析】设的中点为D, , 可得，A、P、D三点共线， 动点P的轨迹一定通过△ABC的重心，故选：B. 【范例2】.（2020·贵州贵阳一中模拟）已知的外接圆的的圆心是M，若，则P是的（ ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【解析】如图，、分别是、的中点，连，，，则有，而， ∴，即有，有与共线， ∵的外接圆的的圆心是M，有，则，同理有，， ∴P是的垂心.故选：D. 【范例3】.（2020·上海市浦东区高一检测）已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】在，上分别取点，，使得，， 则． 以，为邻边作平行四边形，如图， 则四边形是菱形，且． 为的平分线． ， 即， ． ，，三点共线，即在的平分线上． 同理可得在其他两角的平分线上，是的内心． 故选：． 【范例4】．（2021·江苏省江阴市第一中学高一阶段练习）点是平面上一定点，，，是平面上的三个顶点，，分别是边，的对角.以下几个命题正确的是（ ） A．动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中； B．动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中； C．动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中； D．动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中. 【答案】ABC 【解析】 对于A，过点A作AD⊥BC于D，则有， 于是得时，， 而的BC边上中线向量为，即与BC边上中线向量为共线， 则的重心一定在满足条件的点集合中，A正确； 对于B，是两个单位向量的和，与的平分线所在向量共线，， 即与的平分线所在向量共线，则的内心一定在满足条件的点集合中，B正确； 对于C，， ， 即，则的垂心一定在满足条件的点集合中，C正确； 对于D，取边BC的中点E，连PE，，于是得P是的重心，D不正确. 故选：ABC 【素养提升体验】 1.（2021张掖中学高一检测）的外接圆的圆心为O，若，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【解析】因为，所以，即，也即；同理可得，，故是三角形的垂心，应选答案D． 2.（2020·云南曲靖一中高一月考）已知点为三角形的外心（各边中垂线的交点），，则（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【解析】 如图，设的中点为，则， 所以. 故选：A. 3.（2020·山东临沂高一检测）在中，，，，若点为三角形外心，则满足关系式：的有序实数对________. 【答案】 【解析】根据题意，作出图形如图，延长与三角形的外接圆交于点， 因为， 所以， 即，所以， 所以， 同理， 又， 同理， 所以，解得， 所以有序实数对.故答案为： 4．（2021·陕西咸阳高一课时练习）已知点为的重心，过点作直线与，两边分别交于两点，且，，则___________． 【答案】 【解析】因为为的重心,所以, 因为:三点共线,所以,所以,所以答案为:． 5．（2021·湖北荆州高一期中）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为，垂心为，重心为，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】为垂心，，所以，A正确； 设是中点，则共线，， ，B错误； 由B的推导过程得，C正确； 由得，所以， 所以，即，D正确 故选：ACD． 6．（2021·全国·高一课时练习）已知是的重心，为的中点，