第16讲 立体几何的翻折问题 讲义-2021-2022学年高三数学二轮复习专题

第15讲 立体几何中的翻折问题 一、学习目标 1. 掌握翻折问题的基本结论； 2. 掌握翻折问题的基本处理策略. 翻折问题的基本结论： 中，，将沿着边翻折到，在翻折的过程中有 ①，，是二面角的平面角； ②在底面上的投影一定在直线上； ③，； ④点的轨迹是以为圆心的圆，的轨迹是以为旋转轴的两个圆锥侧面. 2、 典例分析 例1.（1）如图，在正方形中，点分别是的中点，点是的中点，现在沿及把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为，则在四面体中必有（ ） A.平面 B.平面 C.平面 D.平面 9．如图，以等腰直角三角形的斜边上的高为折痕，翻折和，使得平面平面.下列结论错误的是（       ） A． B．是等边三角形 C．三棱锥是正三棱锥 D．平面平面 【答案】（1）C； （2）D. 变式： （1）已知正三角形的中线与中位线相交于点，是绕旋转过程中的一个图形，则下列结论错误的是（ ） A.动点在平面上的射影在线段上 B.三棱锥的体积有最大值 C.恒有平面平面 D.异面直线与不可能互相垂直 【答案】D （2）如图，在矩形中，，为的中点，将沿直线翻折成，若是线段的中点，则在翻折的过程中，下列命题正确的是（ ） A.是定值 B.的轨迹是一段圆弧 C.平面 D.存在某个位置，使得 【答案】D 例2.（1）已知矩形，，将沿矩形的对角线所在的直线经翻折，在翻折过程中（ ） A.存在某个位置，使得直线与垂直 B.存在某个位置，使得直线与垂直 C.存在某个位置，使得直线与垂直 D.对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直 （2）如图，在菱形中，，线段的中点分别为，现将沿对角线翻折，则异面直线与所成角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】（1）B； （2）C.. 变式： 1.在正方形中，点分别是的中点，将沿所在的直线进行翻折，将沿所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，（ ） A.点与点在某一位置可能重合 B.点与点的最大距离为 C.直线与直线可能垂直 D.直线与直线可能垂直 【答案】D 2.如图，在中，，，是斜边的中点，将沿直线翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 例3.（1）如图，在长方形中，，为线段上一动点，现将沿折起，使得点在面上的射影在直线上，当从运动到，则所 形成的轨迹的长度是__________. （2）如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点作，为垂足．设，则的取值范围是　　　　． 【答案】（1）； （2）. 变式： 1.在矩形中，，，为的三等分点（靠近处），为线段上一动点（包括端点），现将沿折起，使点在平面内的射影恰好落在边上，则当运动时，二面角的余弦值的取值范围是________. 【答案】 例4.如图，在平行四边形中，，，为线段的中点，将沿直线翻折成，使平面平面，为线段的中点。 （1）求证：平面； （2）设是线段的中点，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明：如图所示，取A′D的中点G，连接GF，GE， 易证BF∥EG，所以BF∥平面A′DE. (2)解:在平行四边形ABCD中，设BC=1， 则AB=CD=2，,AD=AE=EB=1. 连接CE，因为∠ABC=120°, 在△BCE中，可得CE=. 在△ADE中，可得DE=1. 在△CDE中，因为CD2=CE2+DE2，所以CE⊥DE. 在正三角形A’DE中，M为DE的中点，所以A′M⊥DE. 由平面A′DE⊥平面BCD，可知A′M⊥平面BCD，所以A′M⊥CE. 取A′E的中点N，连接NM,NF， 则NF∥CE.则NF⊥DE,NF⊥A′M. 因为DE交A′M于点M，所以NF⊥平面A′DE， 则∠FMN为直线FM与平面A′DE所成的角. 在Rt△FMN中，NF=，MN=，FM=1， 则cos∠FMN=. 变式： 1．如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且. （1）证明：平面平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）由已知可得，，，又，所以平面. 又平面，所以平面平面； （2）作，垂足为.由（1）得，平面. 以为坐标原点，建立如图坐标系.则.又，，所以. 又，，故，可得. 则，又为平面的法向量. 设与平面所成角为，则. 3、 课外作业 1．如图，将四