第16讲-四边形中的证明与计算-【同步优课】2021-2022学年八年级数学下学期重难点精品讲义（沪教版）

第16讲-四边形中的证明与计算 1．掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形性质定理和判定定理； 2．掌握等腰梯形的性质与判定以及三角形、梯形中位线定理． （此环节设计时间在10-15分钟） 多边形 四边形 等腰梯形 直角梯形 平行四边形 梯形 梯形中位线 矩形 正方形 菱形 1．菱形的两条对角线之比是2：3，面积是27，则两条对角线的长分别是 和 ． 2．如图，已知梯形ABCD的中位线为EF，且△AEF的面积为6cm2，则梯形ABCD的面积为（ ） A、 12 cm2 B、 18 cm2 C、 24 cm2 D、30 cm2 3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A、当AB＝BC时，它是菱形； B、当AC⊥BD时，它是菱形； C、当AC＝BD时，它是正方形； D、当∠ABC＝900时，它是矩形. 4．下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形。 ②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。 ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 ④顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形是菱形。其中正确的是（ ） A、①② B、①②③ C、②③④ D、①②③④ 参考答案：1． 6，9； 2． C； 3．C； 4． D． （此环节设计时间在50-60分钟） 例题1：如图在矩形ABCD中，延长CB到E，使得CE＝CA，F是AE中点，联结BF、DF． （1）求证：BF⊥DF； （2）如果AB＝3，BC＝4，求四边形BFDC的面积． 参考答案：联结BD交AC于O，联结FO， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AC＝BD＝2AO＝2CO，AO＝CO， ∵F为AE中点， ∴FO＝CE， ∵AC＝CE，∴FO＝BD，即FO＝OB＝OD， ∴∠OFD＝∠ODF，∠OFB＝∠OBF， ∵∠OFD＋∠ODF＋∠OFB＋∠OBF＝180°； ∴∠OFD＋∠OFB＝90°，即∠DFB＝90°， ∴BF⊥DF； （2）解：∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，由勾股定理得：BD＝AC＝5＝CE， ∴BE＝5—4＝1， ∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝，∵F为AE中点，∴BF＝AE＝， ∴在Rt△DFB中，．∴ 例题2：已知：如图，在□ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，CE、AF与对角线BD分别相交于点G、H．如果AD⊥BD，求证：四边形EGFH是菱形． 参考答案：联结EF，交BD于点O． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD，AB＝CD． ∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴ AE＝CF． ∴四边形AECF为平行四边形． ∴∠AFC＝∠AEC． ∴∠DFH＝∠GEB ∵AB//CD， ∴∠FDH＝∠EBG 又∵DF＝BE； ∴△DFH≌△BEG， ∴DH＝BG ∵AB//CD，AB＝CD，点E、F分别是AB、CD的中点， ∴△DFO≌△BEO． ∴FO＝EO，DO＝BO． ∵DH＝GB，∴OH＝OG．∴四边形EGFH是平行四边形． ∵点E、O分别是AB、BD的中点， ∴OE//AD． ∵AD⊥BD，∴EF⊥GH． ∴□HEGF是菱形． 例题3：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且CE＝BC． 过点E作EF∥CA，交CD于点F，联结OF． （1）求证：OF∥BC； （2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明． 参考答案：（1）将线段BC的中点记为G，联结OG， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD． ∴OG∥CD； ∴∠OGC＝∠FCE． ∵EF∥CA， ∴∠OCG＝∠FEC． ∵CG＝BC，CE＝BC， ∴CG＝CE． 在△OGC和△FCE中， ∵∠OGC＝∠FCE，CG＝CE，∠OCG＝∠FEC， ∴△OGC≌△FCE（A.S.A）； ∴OG＝FC． 又∵OG∥CF， ∴四边形OGCF是平行四边形． ∴OF∥GC （2）如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形． ∵OF∥CE，EF∥CO，∴四边形OCEF是平行四边形． ∴EF＝CO． 又∵梯形OBEF是等腰梯形，∴BO＝EF． ∴OB＝OC． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OC，BD＝2OB． ∴AC＝BD． ∴平行四边形ABCD是矩形． 例题4：如图，在正方形ABCD中，点P是射线BC上的任意一点（点B与点C除外），联结DP，分别过点 C、A作直线DP的垂线，