解三角形专题三：隐含条件的应用

解三角形专题三：隐含条件的应用 解三角形是高中数学的重要内容，也是高考的一个热点．由于公式较多且性质灵活，解 题时稍有不慎，常会出现增解、错解现象，其根本原因是对题设中的隐含条件挖掘不够．下 面结合例子谈谈在解三角形时，题目中隐含条件的挖掘． 隐含条件 1.两边之和大于第三边 例 1 已知钝角三角形的三边 a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，求 k的取值范围． 解 设角 A，B，C的对边分别为 a，b，c. ∵c>b>a，且△ABC为钝角三角形，∴C为钝角． 由余弦定理得 cos C＝a 2＋b2－c2 2ab ＝ k2－4k－12 2kk＋2 <0. ∴k2－4k－12<0，解得－2<k<6. 由两边之和大于第三边得 k＋(k＋2)>k＋4，∴k>2， 综上所述，k的取值范围为 2<k<6. 反思感悟 虽然是任意两边之和大于第三边，但实际应用时通常不用都写上，只需最小两边 之和大于最大边就可以． 跟踪训练 1 在△ABC中，AB＝6，AC＝8，第三边上的中线 AD＝x，则 x的取值范围是______． 答案 (1,7) 解析 以 AB，AC为邻边作平行四边形 ABEC，则 BE＝AC＝8.AE＝2x. 由 2x＋6＞8， 2x＋8＞6， 6＋8＞2x， 解得 1＜x＜7. ∴x的取值范围是(1,7)． 隐含条件 2.三角形的内角范围 例 2 已知△ABC中，B＝30°，AB＝2 3，AC＝2，则△ABC的面积是________． 答案 2 3或 3 解析 由正弦定理，得 sin C＝ABsin B AC ＝ 3 2 . ∴C＝60°或 C＝120°. 当 C＝60°时，A＝90°， 则 S△ABC＝ 1 2 AB·AC·sin A＝2 3； 当 C＝120°时，A＝30°， 则 S△ABC＝ 1 2 AB·AC·sin A＝ 3. ∴△ABC的面积是 2 3或 3. 反思感悟 利用正弦定理解决“已知两边及其中一边对角，求另一角”问题时，由于三角形 内角的正弦值都为正的，而这个内角可能为锐角，也可能为钝角，容易把握不准确出错． 跟踪训练 2 在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.若 asin Bcos C＋csin Bcos A＝1 2 b， 则 B＝________. 答案 π 6 或 5 6 π 解析 由正弦定理，得 sin Asin Bcos