专题20 等比数列的前n项和重难点专练（解析版）-【提优精练】2021-2022学年上海高二数学重难点综合专练（沪教版2020选择性必修一册）

专题20 等比数列的前n项和重难点专练（解析版） 一、单选题 1．（2020·上海市金山中学高二阶段练习）已知数列，对于任意的正整数，，设表示数列的前项和.下列关于的结论，正确的是（       ） A． B． C． D．以上结论都不对 【答案】B 【分析】 根据题意，结合等比数列的求和公式，先得到当时，，再由极限的运算法则，即可得出结果. 【详解】 因为数列，对于任意的正整数，，表示数列的前项和， 所以，，，...… ， 所以当时， ， 因此. 故选B 【点睛】 本题主要考查数列的极限，熟记等比数列的求和公式，以及极限的运算法则即可，属于常考题型. 2．（2020·上海市行知中学高二期中）已知是实数等比数列前项和，则在数列中（       ） A．必有一项为零 B．可能有无穷多项为零 C．至多一项为零 D．任何一项均不为零 【答案】B 设等比数列的公比为，分、两种情况讨论，结合等比数列的求和公式可验证各选项的正误. 【详解】 设等比数列的公比为. 对于A选项，当时，则，A选项错误； 对于B选项，当时，，即在数列中可能存在无穷多项为零，B选项正确； 对于C选项，由B选项可知，C选项错误； 对于D选项，由B选项可知，D选项错误. 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：本题考查等比数列前项和的取值情况，解题的关键就是对等比数列的公比分类讨论，注意分、、且讨论，结合等比数列求和公式进行分析. 3．（2021·上海市复兴高级中学高二阶段练习）已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，an＋1－an＝＝3，n∈N*，则数列的前10项和为（       ） A．×(310－1) B．×(910－1) C．×(279－1) D．×(2710－1) 【答案】D 由题可以判断出{an}为等差数列，公差为3，{bn}为等比数列，公比为3，即可求出和的通项公式，进一步求出通项公式，并判断出是等比数列，求出其前10项和即可. 【详解】 因为， 所以{an}为等差数列，公差为3，{bn}为等比数列，公比为3， 所以， 所以， 所以是以1为首项，27为公比的等比数列， 所以的前10项和为. 故选：D． 【点睛】 本题考查等差等比数列的判断和通项公式的求法，以及求等比数列的前n项和，属于基础题. 4．（2022·上海市松江二中高二阶段练习）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（       ） A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1 【答案】B 【分析】 根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可. 【详解】 设等比数列的公比为， 由可得：， 所以， 因此. 故选：B. 【点睛】 本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前项和公式的应用，考查了数学运算能力. 5．（2020·上海市行知中学高二阶段练习）对于正三角形，挖去以三边中点为顶点的小正三角形，得到一个新的图形，这样的过程称为一次“镂空操作“，设是一个边长为1的正三角形，第一次“镂空操作”后得到图1，对剩下的3个小正三角形各进行一次“镂空操作”后得到图2，对剩下的小三角形重复进行上述操作，设是第次挖去的小三角形面积之和（如是第1次挖去的中间小三角形面积，是第2次挖去的三个小三角形面积之和），是前次挖去的所有三角形的面积之和，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 A1，当n≥2时，An，故数列{An}是等比数列，求其前n项和的极限即可． 【详解】 解：依题意，A1，当n≥2时，An， 所以{An}是以为首项，以为公比的等比数列，又因为公比不为1， 所以Sn， 所以：Sn． 故选A． 【点睛】 本题考查了等比数列的定义，前n项和公式，数列极限等知识，属于基础题． 6．（2020·上海·上外浦东附中高二阶段练习）在平面直角坐标系中，定义（）为点到点的变换，我们把它称为点变换，已知，，，是经过点变换得到一组无穷点列，设，则满足不等式最小正整数的值为（       ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】 可以先求得（当然可求得，然后归纳出，对填空、选择题这是不错的解法），然后求得，从而可以得，说明数列是等比数列，求得通项公式后求和，由得解． 【详解】 由定义知，，，即． ， 观察可得， ， ， ∴数列是等比数列，公比为2，首项为1．∴． ，由，解得．即的最小值为11. 故答案为：C 【点睛】 本题考查向量的数量积，考查等比数列的通项公式与前项和公式．解题关键是求出．接着顺理成章地写出，观察两项之间的关系，问题得以解决．属于难题 二、填空题 7．（2022·上海市复兴高级中学高二期末）设（n为正整数），