第3章 空间向量及其应用单元综合提优专练-【提优精练】2021-2022学年上海高二数学重难点综合专练（沪教版2020选择性必修一册）

第3章 空间向量及其应用单元综合提优专练（解析版） 一、单选题 1．已知矩形ABCD，，，将沿AC折起到的位置若，则二面角平面角的余弦值的大小为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 作，垂足分别为，过点作交于点，可得即为二面角的平面角，再根据，两边平方求出，即可得解. 【详解】 解：作，垂足分别为，过点作交于点，则， 所以即为二面角的平面角， 由矩形ABCD，可得， 则，所以， 因为， 所以， 即， 所以， 因为， 所以. 所以二面角平面角的余弦值的大小为. 故选：C. 2．在四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面底面．若，则　　 A．当 时，平面BPC⊥平面PCD B．当时，平面APD⊥平面PCD C．对任意，直线PA与底面ABCD都不垂直 D．存在，使直线PD与直线AC垂直 【答案】A 【分析】 通过作辅助线，证明平面，从而证明平面BPC⊥平面PCD，可判断A正确；利用反证的方法说明B;根据线面垂直的判定说明C;利用向量的数量积的计算说明D. 【详解】 对于A,延长，交于点，连接，则， 是的中点，， ， 又侧面底面，， 平面，可得，平面, 故平面， 平面，平面平面,故A正确； 设平面平面APD和平面PCD的交线为l，平面APD, 故 平面APD，则 ，则 , 若平面APD⊥平面PCD，则平面PCD，则平面PCD， 即有,与题意矛盾，故B错误； 对于C，当时，由于侧面底面，交线为AB, 故直线PA与底面ABCD垂直，故C错误； 对于D，，侧面底面，故侧面, 设 的夹角为 ，假设存在，使直线PD与直线AC垂直， 则 ， 即，，与矛盾，故D错误， 故选：A 3．在直三棱柱中，，，为该三棱柱表面上一动点，若，则点的轨迹长度为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 将三棱柱补形为正方体，容易找到BC的中垂面，因为，所以确定点P在中垂面内，通过几何关系求解中垂面与三棱柱相交的轨迹长度即可. 【详解】 因为，，所以可将直三棱柱补形为边长为2的正方体，取的中点E，F，G，H，K，L按顺序连接.，，如图所示， 正方体中，，， 所以面， 所以，因为，所以. 同理可得， 因为，所以面，其中为正六边形. 因为E，G，H，L为的中点，所以M，N为的四等分点， 根据正方体对称性，知O为MN中点也是BC中点，因为，所以点P在过点O垂直于BC的平面内，即点P在面内. 又因为点P在三棱柱表面上，所以P点的轨迹为五边形MNEFG， ，由正六边形及正方体对称性可知 ， 故点P的轨迹长度为， 故选：B 【点睛】 处理此类问题的关键是熟练掌握立体几何中的点线面垂直平行异面的关系，找到与包含未知点的量和已知量之间的等量关系或不等关系即可.本题把到两点距离问题转化为找中垂面，再通过线面垂直的判定定理即可证明垂面位置，由此确定点P的轨迹为五边形，求出长度即可. 4．如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，P是的中点，点M在侧面（含边界）内，若.则△BCM面积的最小值为（　　） A．8 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，利用向量法确定M的轨迹满足，求出的最小值，可求出面积的最小值. 【详解】 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则 ，，，， 设 ，则 ，， 因为 ， 所以 ，得 ， 所以 ， 所以 ， 当 时， 取最小值 ， 易知，且平面，平面 故，故 所以的最小值为． 故选：D. 5．如图，在菱形中，，，沿对角线将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段，上的动点，则下列说法错误的是（       ） A．平面平面 B．线段的最小值为 C．当，时，点D到直线的距离为 D．当P，Q分别为线段，的中点时，与所成角的余弦值为 【答案】C 【分析】 取的中点，易知，结合条件及线面垂直的判定定理可得平面，进而有平面平面，即可判断A；建立坐标系，利用向量法可判断BCD. 【详解】 取的中点，连接， ∵在菱形中，，， ∴，又， ∴，所以， 又易知， 因为，，， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面，故A正确； 以为原点，分别为轴建立坐标系， 则， 当，时，，， ，， 所以点D到直线PQ的距离为，故C错误； 设，设，可得， ， 当时，，故B正确； 当P，Q分别为线段BD，CA的中点时， ，，，， 设PQ与AD所成的角为， 则， 所以PQ与AD所成角的余弦值为，故D正确； 故选：C. 6．如图，在圆锥中，，点C在圆O上，当直线与所成角为60°时，直线与所成角为（       ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】 以点O为坐标原点建立空间直角坐标系如