专题26 数学归纳法难点专练-【提优精练】2021-2022学年上海高二数学重难点综合专练（沪教版2020选择性必修一册）

专题26 数学归纳法难点专练（解析版） 一、解答题 1．（2022·上海市市北中学高三期中）对于数列，若存在正数，使得对任意都成立，则称数列为“拟等比数列”． (1)已知，，且，若数列和满足：，且，； ①若，求的取值范围； ②求证：数列是“拟等比数列”； (2)已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，，，且是“拟等比数列”，求的取值范围（请用、表示）． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) 【分析】 （1）①根据基本不等式可求得的取值范围； ②利用数学归纳法证明出：，，然后利用不等式的性质可证得，即可证得结论成立； （2）由题中条件，，，先求出的范围；再根据是“拟等比数列”，分类讨论和，利用参变量分离法结合数列的单调性即可得出结果. (1) 解：①因为，，且，，， 所以，的取值范围是； ②由题意可得， 则，即， 假设当时，， 则当时，，即， 所以，对任意的，， 所以，，， 即存在，使得， 所以，数列是“拟等比数列”. (2) 解：因为，，， 即，所以， 即，且有， 因为，则，所以，， 又因为数列是“拟等比数列”，故存在，使得，且数列为单调递减数列. ①当时，此时， 所以，， 因为，则， 因为数列在时单调递减，故， 而； ②当时，，则， 由，则， 因为数列在时单调递减，故. 由①②可得，即的取值范围是. 【点睛】 结论点睛：利用参变量分离法求解数列不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 2．（2022·上海·格致中学高二阶段练习）个正数排成行列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数的等比数列．已知，，． (1)设，求数列的通项公式； (2)设，请用数学归纳法证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】 （1）由题意得数列是等差数列，设首项为，公差为，联立方程组，求出和，写出通项公式； （2）先利用题意和等比数列求出，再利用数学归纳法可以证明. (1) （1）由题意得数列是等差数列，设首项为，公差为， 由，，得 ，解得，. 故数列的通项公式为. (2) 解：由（1）得， 又，且，， 所以； ①当时，，等式成立. ②假设当时等式成立，即， 当时， ，等式成立. 根据①和②可以断定对任何的都成立. 3．（2021·上海市建平中学高三阶段练习）已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比不为1的等比数列，且满足，，. (1)求数列、的通项公式； (2)令，，求证：对任意的，都有； (3)若数列满足，，记，是否存在整数，使得对任意的都有成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】 （1）根据等差等比数列公式代入得到方程组，解得答案. （2）计算得到，利用数学归纳法结合双勾函数单调性证明即可. （3）验证的情况得到，再计算，得到，得到证明. (1) ，则；，则；，则. 解得，，，故，. (2) ，即， 当时，，故成立； 假设时成立，即； 当时，，函数在上单调递增， ，故，即时成立. 综上所述：对对任意的成立. (3) 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 故，若存在满足条件，则. ， ， 两式相加得到： ，故. ， ，成立. 综上所述：存在使恒成立. 4．（2021·上海·闵行中学高三开学考试）定义在上的函数满足：若对任意的实数，有，则称为函数． （1）判断和是否为函数，并说明理由； （2）当时，函数的图像是一条连续的曲线，值域为，且，求证：关于的方程在区间上有且只有一个实数根； （3）设为函数，且，定义数列：，，证明：对任意，有． 【答案】（1）不是函数，是函数，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】 (1)利用给定定义结合已知函数式直接验证即可得解； (2)构造函数，利用零点存在性定理及反证法即可得解； (3)根据给定条件，先证得，然后利用数学归纳法证明对任意正整数成立. 【详解】 (1)，， ，显然值可以趋近于正无穷大，即不成立， 所以函数不是函数； ， 而，则恒成立， 所以函数是函数； (2)令，显然的图象是上的一条连续曲线，而值域为，且， 于是得，，由零点存在性定理知，方程在内有实根， 若在内有两个不同的实根，则有，即， 而函数是函数，对上述的，必有与矛盾， 所以关于的方程在区间上有且只有一个实数根； (3)因函数是函数，又，，于是得，即， ，从而有， 用数学归纳法证明不等式：，， ①当时，不等式显然成立， ②假设时，不等式成立，即， ，即有，则， 又，即， 则，即， 从而得，即时，不等式成立， 综合①②得，对任意，有. 【点睛】 思路点睛：数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．在用数学归纳法证明时，第①步验算n=n0的n0不一定为1，