专题25 等差数列与等比数列综合应用专练-【提优精练】2021-2022学年上海高二数学重难点综合专练（沪教版2020选择性必修一册）

专题25 等差数列与等比数列综合应用专练（解析版） 一、单选题 1．下列命题中正确的是 A．若正数是等差数列，则是等比数列 B．若正数是等比数列，则是等差数列 C．若正数是等差数列，则是等比数列 D．若正数是等比数列，则是等差数列 【答案】D 根据等差数列与等比数列的性质，结合对数的运算性质，逐一判断真假，可得答案. 【详解】 若正数a, b, c是等差数列，则2a, 2b, 2c是等差数列，但不一定是等比数列，例如，1,2,3是等差数列，2,4,6是等差数列，但不是等比数列，故A错误; 若正数a，b，c是等比数列，则2a，2b, 2c是等比数列，但不一定是等差数列，例如，1，2，4成等比数列，2,4,8成等比数列，不是等差数列，故B错误; 若正数a, b, c是等差数列，但中可能有0，不能做为等比数列的项,故C错误; 若正数a, b, c是等比数列，则 故成等差数列，故D正确. 故选：D 【点睛】 本题以命题的真假判断为载体考查了等差数列和等比数列的定义，熟练掌握等差，等比数列的定义及性质是解答的关键，属于中档题. 2．已知，，，……，是各项不为零的项等差数列，且公差不为零，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，则的值为（       ） A．4 B．6 C．7 D．无法确定 【答案】A 可以使用排除法进行判断．当时，无论删掉哪一项，必定会出现连续三项既是等差数列．又是等比数列，则为常数列，于是该数列公差为零，不满足题意。当时，经过运算可得，不符合题意．经过进一步验证，当存在数列符合题意。 【详解】 当时，无论删掉哪一项，必定会出现连续三项既是等差数列．又是等比数列，则为常数列，于是该数列公差为零，不满足题意，则或．当时，由以上分析可知，只能删掉第三项，此时，不满足题意．故．验证过程如下： 当时，有，，，． 将此数列删去某一项得到的数列（按照原来的顺序）是等比数列． 如果删去，或，则等于有3个项既是等差又是等比，不满足题意． 故可以知道删去的是，或． 如果删去的是，则，故， 整理得到，即，故即． 如果删去的是，则，故， 整理得到即，故即． 可得或1． 故答案为：A． 【点睛】 关键点点睛：等差数列中有等比数列，常用基本量来展开计算，注意根据项数来分类讨论． 3．对于无穷数列，给出下列命题： ①若数列既是等差数列，又是等比数列，则数列是常数列． ②若等差数列满足，则数列是常数列． ③若等比数列满足，则数列是常数列． ④若各项为正数的等比数列满足，则数列是常数列． 其中正确的命题个数是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】 ①根据等差、等比数列的性质可判断且；②根据等差数列的单调性无界性判断是否为常数列；③根据特例即可判断是否正确；④由正项等比数列的性质可得，，进而判断是否为常数列. 【详解】 ①：若数列既是等差数列又是等比数列，若，则，故，而，所以数列为常数列且，正确； ②：等差数列为无穷数列，若公差不为0，则要么递增要么递减，即无上界，要使等差数列满足，则数列是常数列，正确； ③：若等比数列满足，如，所以数列不一定是常数列，错误； ④：若各项为正数的等比数列满足，即，可得，， 若，则无上界，故，进而数列是常数列，正确． 故选：C． 【点睛】 关键点点睛：根据等差、等比数列的性质，如：、时数列无界性等，判断各项命题的正误. 4．已知数列，中满足，，，若前项之和为，则满足不等式的最小整数是（       ）. A．8 B．9 C．11 D．10 【答案】D 由可求得数列的通项公式，进而求得数列，表示出， 令，即可得到满足不等式的最小整数. 【详解】 解：由题意可知：， 即， 即， 又， ， 即数列是以首项为9，公比为的等比数列， ， 即， ， ， 则， 即， 又， 满足不等式的最小整数， 即. 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：本题解题的关键是利用构造法求出数列的通项公式. 5．已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 由等差，等比数列的形式特征画函数的图象，根据图象判断选项. 【详解】 等差数列的通项公式是关于的一次函数，，图象中的孤立的点在一条直线上， 而等比数列的通项公式是关于的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上， 如图所示当时，如下图所示， 当公差时，如下图所示， 如图可知当时，，，，. 故选：D 【点睛】 关键点点睛：本题的关键是判断的方法，选择图象法可以比较快速的判断选项. 6．设数列满足，，，（       ） A．存在， B．存在，使得是等差数列 C．存在， D．存在，使得是等比数列 【答案】D 由，得到，递推作差求得，进而得到，结合选项和等差、等比数列的定义，逐项判定，即可求