专题24 数列的综合应用专练-【提优精练】2021-2022学年上海高二数学重难点综合专练（沪教版2020选择性必修一册）

专题24 数列的综合应用专练（解析版） 一、单选题 1．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元.余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第n月月底小王手中有现款为，则下列结论正确的是（       ）（参考数据：，） ① ② ③2020年小王的年利润约为40000元 ④两年后，小王手中现款约达41万 A．②③④ B．②④ C．①②④ D．②③ 【答案】A 【分析】 由题可知，月月底小王手中有现款为，月月底小王手中有现款为之间的递推关系为，，进而根据递推关系求出通项公式即可得答案. 【详解】 对于①选项，元，故①错误 对于②选项，第月月底小王手中有现款为，则第月月底小王手中有现款为，由题意故②正确； 对于③选项，由得 所以数列是首项为公比为1.2的等比数列， 所以，即 所以2020年小王的年利润为元，故③正确； 对于④选项，两年后，小王手中现款为元，即41万，故④正确. 故选：A. 2．为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（       ）（取，） A．32500元 B．40000元 C．42500元 D．50000元 【答案】B 【分析】 设摊主6月底手中现款为，n月月底摊主手中的现款为，n+1月月底摊主手中的现款为，则可得二者之间的关系，构造新数列 成等比数列，求解，即可得到答案． 【详解】 设，从6月份起每月底用于下月进货的资金依次记为，，…，，，同理可得， 所以， 而，所以数列是等比数列，公比为1.2， 所以，， ∴总利润为， 故选:B． 3．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1100万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（       ） A．2806万元 B．2906万元 C．3106万元 D．3206万元 【答案】A 【分析】 设每个实验室的装修费用为，设备费为，依据题意可得，联立求解可得的值，根据每个实验室的改建费用不能超过1100万元，可求解取值范围，再利用等比数列的求和公式可求解总费用，即得解. 【详解】 设每个实验室的装修费用为x万元，设备费为万元，则，且，解得，故.依题意，，即，所以，总费用为：. 故选：A. 4．某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个……按照此规律，6小时后细胞存活个数是（       ） A．33 B．64 C．65 D．127 【答案】C 【分析】 由题意可得，构造等比数列可求出，从而可求出结果 【详解】 将开始时的细胞个数记为，1小时后的细胞个数记为，2小时后的细胞个数记为，3小时后的细胞个数记为，……， 由题意可得，当时，，则 ，所以 数列是以2为公比，1为首项的等比数列， 所以， 所以， 所以6小时后细胞存活个数为， 故选：C 5．某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由已知条件和分期付款公式列方程求解即可 【详解】 由已知条件和分期付款公式，可得 ， ∴． 故选：C 6．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（       ） A．35 B．42 C．49 D．56 【答案】B 【分析】 根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n轮传染后