专题16 空间向量在立体几何中的应用综合专练-【提优精练】2021-2022学年上海高二数学重难点综合专练（沪教版2020选择性必修一册）

专题16 空间向量在立体几何中的应用综合专练（解析版） 一、单选题 1．（2021·上海市七宝中学高二期中）MA，MB，MC是从点M出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线MC与平面MAB所成角的余弦值是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 过上一点作平面，则就是直线与平面所成的角．能证明点在的平分线上，通过解直角三角形、，求出直线与平面所成角的余弦值． 【详解】 解：在上任取一点并作平面，则就是直线与平面所成的角． 过点作，，因为平面，则，． ，，， 因为，所以点在的平分线上，即． 设， 在直角中，，，则． 在直角中，，．则． 即直线与平面所成角的余弦值是． 故选：A 2．（2022·上海·高三专题练习）如图一副直角三角板，现将两三角板拼成直二面角，得到四面体，则下列叙述正确的是（       ） ①平面的法向量与平面的法向量垂直； ②异面直线与所成的角为； ③四面体有外接球； ④直线与平面所成的角为. A．②④ B．③ C．③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】 ①由题设四面体相关侧面的关系即可判断正误；②过、作、的平行线且交于，连接，则就是异面直线与的夹角，设求相关边的长度，再应用余弦定理求；③由四面体的性质即可知正误；④由面面垂直确定与平面所成的角是，即知线面角的大小. 【详解】 ①平面的法向量与平面的法向量垂直，而与平面的法向量不垂直，故错误； ②过作的平行线，过作的平行线，两平行线交于点，联结，则就是异面直线与的夹角，过作，联结、， 若，则， 由，面面，面面，面， ∴面，面，则，同理可证， ∴，，易得，故错误； ③由于所有的四面体都有外接球，故正确； ④因为平面，所以与平面所成的角是，正确. 故选：C 3．（2021·上海·复旦附中高三开学考试）在正方体中，点O为线段BD的中点. 设点P在线段上，直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 建立三维直角坐标系，求出平面的法向量，然后求出OP与法向量夹角的余弦值就是直线OP与平面所成的角正弦. 【详解】 设正方形的棱长为1，分别以、、为，，轴正方向建立直角坐标系，令， 则，，， ，， 设平面的法向量为 由 解得平面的一个法向量为 故选：B 4．（2021·上海·曹杨二中高三期中）已知正方体的棱长为，、分别是棱、的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，计算出平面的一个法向量的坐标，由已知条件得出，可得出、所满足的等式，求出点的轨迹与线段、的交点坐标，即可求得结果. 【详解】 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，设点， ，，设平面的法向量为， 由，取，可得， ，由题意可知，平面，则， 令，可得；令，可得. 所以，点的轨迹交线段于点，交线段的中点， 所以，点的轨迹长度为. 故选：B. 5．（2021·上海市控江中学高二期中）如图，平面平面，，，．平面内一点P满足，记直线与平面所成角为，则的最大值是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 如图建立空间直角坐标系，令，即可得到、的坐标，设，根据，则，即可得到，再求出平面的法向量，依题意根据正弦函数、正切函数的单调可知，要求的最大值，即可求的最大值，利用空间向量法表示出线面角的正弦值，再根据函数的性质求出的最大值，从而根据同角三角函数的基本关系求出； 【详解】 解：如图以平面为平面，平面为平面，建立如图所示空间直角坐标系，令，则，，显然平面的法向量可以为，设，则，，，因为，所以，即，因为直线与平面所成角为，因为，显然，即，因为与在均单调递增，要求的最大值，即可求的最大值， 所以 ，所以当时，又，所以 故选：A 6．（2021·上海·华东师范大学第三附属中学高二期中）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，的中点为，底面，则异面直线与所成角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值. 【详解】 设三棱柱的棱长为， ，为的中点，则， 平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则点、、， 所以，，. 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向