专题13 空间向量及其运算重难点专练-【提优精练】2021-2022学年上海高二数学重难点综合专练（沪教版2020选择性必修一册）

专题13 空间向量及其运算重难点专练（解析版） 一、单选题 1．（2021·上海交大附中高二开学考试）如图，在大小为45°的二面角A­EF­D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　) A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】 由，利用数量积运算性质展开即可得到答案 【详解】 , 故 故选 【点睛】 本题是要求空间两点之间的距离，运用空间向量将其表示，然后计算得到结果，较为基础． 2．（2021·上海市徐汇中学高二期中）如图，已知正四面体，点，，，，，分别是所在棱中点，点满足且，记，则当，且时，数量积的不同取值的个数是（　　） A．3 B．5 C．9 D．21 【答案】B 【分析】 由条件可知点在平面上，并且由几何意义可知平面，利用数量积的几何意义求的不同取值的个数. 【详解】 条件“且”，说明点在平面上，而说明为平面的中心，此时平面，由向量数量积的几何意义，在的投影有5种情况：0、、，∴数量积的不同取值的个数是5， 故选：B． 【点睛】 本题考查空间向量共面定理的应用，数量积的几何意义，重点考查转化思想，数形结合思想，属于中档题型. 3．（2019·上海市延安中学高二期中）如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合中的元素个数（       ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 本题首先可根据图像得出，然后将转化为，最后根据棱长为以及即可得出结果. 【详解】 由图像可知，， 则， 因为棱长为，， 所以，， 故集合中的元素个数为， 故选：A. 【点睛】 本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想，考查集合中元素的性质，是中档题. 4．（2020·上海市七宝中学模拟预测）已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用向量的线性运算和数量积运算律可得，根据正方体的特点确定最大值和最小值，即可求解 【详解】 设正方体内切球的球心为，则, , 因为MN是正方体内切球的一条直径， 所以，， 所以， 又点Р在正方体表面上运动， 所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为； 当为内切球与正方体的切点时，最小 ，且最小为； 所以， 所以的取值范围为， 故选：B 5．（2021·上海市金山中学高二期中）在正方体中，下列结论错误的是（       ） A． B． C．向量与的夹角是120° D．正方体的体积为 【答案】D 【分析】 根据空间向量的知识对每个选项逐一分析即可. 【详解】 正方体 如图所示， 对于A选项，，，故 A 正确； 对于B选项， ， 在平面内的投影为， 又因为 ，即，故B正确； 对于C选项，为等边三角形， ，向量与的夹角是，故 C 正确； 对于D选项，，，故D显然错误. 故选：D 6．（2021·上海·曹杨二中高二阶段练习）已知非零向量，则“”是“”的（       ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非必要非充分条件 【答案】A 【分析】 先讨论充分性，令，可得出，从而确定充分性成立；再讨论必要性，举出反例当，此时满足，但“”不成立，确定必要性不成立；从而得出结论. 【详解】 解：由题可知，非零向量， 当“”成立，令， ， 则，而， ，则，故充分性成立； 若，此时满足， 由于分母不能为0，可知“”不成立，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 7．（2021·上海·高二专题练习）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（       ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用空间向量的三角形法则可得，结合平行六面体的性质分析解答． 【详解】 平行六面体中，M为与的交点，，，， 则有： ， 所以. 故选：A 8．（2021·上海市大同中学高三阶段练习）已知，，和为空间中的4个单位向量，且，则不可能等于 A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】 根据n个向量的和的模不大于n个向量的模的和可推出结论. 【详解】 因为 而， 所以 因为，，， 是单位向量，且， 所以不共线， 所以，故选A. 【点睛】 本题主要考查了向量与不等式的关系，涉及向量的共线问题，属于难题. 二、填空题 9．（2021·上海市七宝中学高二期中）已知，则在上的投影为__________ 【答案】 【分析】 根据空间点的坐标求出的坐标，结合空间向量的几何意义即可求出结果. 【详解】 因为，所以 设与的夹角为，所以根据空间向量的几何意义可得： 在上