4.3.1 第二课时　直线与平面垂直的定义与判定定理（课件）- 【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步导学案（湘教版）

第二课时　直线与平面垂直的定义与判定定理 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 学习目标 1.理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“所有”两字的重要性．(数学抽象) 2．掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题．(逻辑推理、直观想象) 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 知识导图 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 随堂自测 巩固应用 创新拓展 素养培优 课时作业 巩固提升 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 [问题导学] 预习教材，思考问题 1．怎样判定直线与平面垂直？ 2．斜线与平面所成的角是怎样定义的？　　　 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 [知识梳理] 知识点一　直线与平面垂直的定义 定义 如果直线l与平面α相交，并且垂直于这个平面内的所有直线，那么就称直线l与平面α垂直 记作 l⊥α 有关 概念 直线l叫作平面α的_____，平面α叫作直线l的______．直线与平面垂直时，它们的交点叫作_______ 垂线 垂面 垂足 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 微思考 直线与平面垂直定义中的关键词“所有直线”是否可以换成“无数条直线”“任意一条直线”． 提示：定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直． 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 知识点二　直线与平面垂直的判定定理 文字 语言 如果一条直线与一个平面内的____________直线垂直，那么该直线与此平面垂直 图形 语言 符号 语言 a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，___________⇒l⊥α a∩b＝A 两条相交 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 微辨析 判断正误．(在题后括号内打“√”或“×”) (1)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；(　　) (2)若一条直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；(　　) (3)若一条直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；(　　) (4)若一条直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线．(　　) × × √ × 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 题型一　直线与平面垂直 [例1]　如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F. (1)求证：PC⊥平面AEF. 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 [证明]　(1)因为PA⊥平面ABCD， BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC. 又AB⊥BC，PA∩AB＝A， 所以BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC. 又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC， 所以AE⊥PC.又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF. 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 (2)设平面AEF交PD于G，求证：AG⊥PD. [证明] (2)由(1)知PC⊥平面AEF， 所以PC⊥AG，同理 CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD， 所以CD⊥AG，PC∩CD＝C， 所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD. 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 [变式训练] 1．[变条件]若在本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH. 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以BD⊥PA. 因为PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，且PA∩AC＝A， 所以BD⊥平面PAC，FH⊂平面PAC， 所以BD⊥FH. 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 2．[变条件]若在本例中，PA＝AD，G是PD的中点，其他条件不变，求证：PC⊥平面AFG. 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 证明：因为PA⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD， 所以DC⊥PA. 又因为ABCD是矩形，所以DC⊥AD，又PA∩AD＝A， 所以DC⊥平面PAD，又AG⊂平面PAD，所以AG⊥DC. 因为PA＝AD，G是PD的中点， 所以AG⊥PD，又DC∩PD＝D， 所以AG⊥平面PCD，所以PC⊥AG， 又因为PC⊥AF，AG∩AF＝A，所