6.3.3 6.3.4 空间距离的计算（课时作业）- 【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（苏教版）

A层(必备知识练) 1．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为(　　) A．10　　　　　　　 B．3 C. D. 解析：点P到平面α的距离 d＝＝＝. 答案：D 2．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为(　　) A．0 B. C．－ D. 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,3)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，所以＝(－2，－2,3)，＝(－2,2,0)，所以cos〈，〉＝＝0. 答案：A 3．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，可知∠CB1C1＝60°，∠DC1D1＝45°，设B1C1＝1，则CC1＝＝DD1.∵∠DC1D1＝45°，∴C1D1＝，则有B1(，0,0)，C(，1，)，C1(，1,0)，D(0,1，)． ∴＝(0,1，)，＝(－，0，)． ∴cos〈，〉＝＝＝. 答案：A 4．已知正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(　　) A. B. C. D. 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝2AB＝2，则B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，C1(0,1,2)，故＝(1,1,0)，＝(0,1,2)，＝(0,1,0)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则y＝－2，x＝2，所以平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设直线CD与平面BDC1所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝. 答案：A 5.如图，在空间直角坐标系D­xyz中，四棱柱ABCD­A1B1C1D1为长方体，AA1＝AB＝2AD，点E，F分别为C1D1，A1B的中点，则平面A1B1B与平面A1BE所成锐二面角的余弦值为(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：设AD＝1，则A1(1,0,2)，B(1,2,0)．因为E，F分别为C1D1，A1B的中点，所以E(0,1,2)，F(1,1,1)，所以＝(－1,1,0)，＝(0,2，－2)．设m＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则即取x＝1，则y＝z＝1，所以平面A1BE的一个法向量为m＝(1,1,1)．又因为DA⊥平面A1B1B，所以＝(1,0,0)是平面A1B1B的一个法向量，所以cos〈m，〉＝＝＝.所以平面A1B1B与平面A1BE所成锐二面角的余弦值为. 答案：C 6．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉＝________. 解析：建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则C(0,2,0)，M(2,0,1)，D1(0,0,2)，N(2,2,1)， ∴＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)． cos〈，〉＝＝－， ∴sin〈，〉＝. 答案： 7．如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是________． 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，O为BC中点，设三棱柱的棱长为2a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，B1(0，a,2a)，M(0，－a，a)，＝(－a，a,2a)，＝(0，－2a，a)，所以·＝0，因此异面直线AB1与BM所成的角为90°. 答案：90° 8．如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角θ的余弦值为________． 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，所以G，＝. 易知平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1)， 则cos〈，n〉 ＝＝－， 所以PG与平面ABCD所成角的余弦值为＝. 答案： 9.如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1，求A1B与平面A1B1CD所成角的大小． 解析：法一：如图(1)，连接BC1，与B1C交于点O，连接A1O. ∵BC1⊥B1C，A1B1⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1， ∴BC1⊥平面A1B1CD， ∴A1B在平面A1B1CD内的射影为A1O. ∴∠OA1B就是A1B与平面A1B1CD所成的角． 设正方体的棱长为1. 在Rt△A1OB中，A1B＝，BO＝，∴sin∠OA1B＝＝＝， ∴∠OA1B＝30°， 即A1B与平面A1B1CD所成