19 微专题：利用向量识别三角形“四心”-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】 微专题：利用向量识别三角形“四心” 【三角形“四心”的定义与几何性质】 (1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直； (3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。 【三角形“四心”的向量表达式】 三角形“四心”向量形式的充要条件 设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则 (1)O为△ABC的重心⇔＋＋＝； (2)O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝⇔sin 2A·＋sin 2B·＋sin 2C·＝； (3)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0⇔ sin A·＋sin B·＋sin C·＝； (4)O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·⇔ tan A·＋tan B·＋tan C·＝； 【典例】 例1、已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(　　) A．△ABC的内心　　B．△ABC的垂心　　C．△ABC的重心　　D．AB边的中点 【提示】； 【答案】； 【解析】 【说明】本题考查了向量加法的几何表示与三点共线的向量表示与三角形中平面几何性质的综合； 例2、已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【提示】； 【答案】； 【解析】 【说明】本题主要考查了如何结合向量的数量积化简题设的“分母”；以及在判别垂心中的应用； 例3、已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的 例4、在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M的轨迹必经过△ABC的(　　) A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【归纳】 关于四心的概念及性质： (1)重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点； 性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2