17 微专题：平面向量“极化恒等式”的推导与应用 讲义-2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】 微专题：平面向量“极化恒等式”的推导与应用 极化恒等式是高等数学《泛函分析》中的知识内容；把极化恒等式降维至二维平面，则可以非常巧妙地建立向量和几何长度（数量）之间的关联，从而实现向量与几何、向量和代数的精妙结合。而且，由于极化恒等式本身所具有的作为代数与几何桥梁的特点，在近几年全国各地高考命题中迅速成为创新问题的热点，也随之出现了不少非常巧妙的向量试题； 极化恒等式及其拓展 1、极化恒等式：； （1）等式推导： 【证明】 （2）几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的； 2、平行四边形模式： 如图，平行四边形，是对角线交点； 则； 【证明】 ( A B C M )3、三角形模式：如图，在中，设为的中点， 则； （1）推导过程： （2）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决； （3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差； 【典例】 例1、如图，在中，是的中点，是上两个三等分点， ，，则的值是 ； 【解析1】 【解析2】 【解析3】 【说明】本题考查了利用由极化恒等式求平面向量数量积的值；关键是：理解极化恒等式的图形特征； 例2、（1）已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则·的取值范围是________. （2）在面积S＝2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则·＋2的最小值是________. 【说明】本题考查了借助极化恒等式求平面向量数量积最值或范围：关键是：通过转化后；借助向量的代数与几何表示，数形结合地求最值； 例3、（1）在△ABC中，BC＝3，·＝4，则BC边上的中线AM的长是________； （2）设点P为正三角形△ABC的边BC上的一个动点，当取得最小值时，sin∠PAC的值为 【归纳】 极化恒等式的作用和使用范围 1、极化恒等式的作用：建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数之间的互相转化。 2、极化恒等式的适用范围：（1）共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化；（2）不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题。 极化恒等式使用方法 在确定求