16 微专题：平面向量的数量积及其应用 讲义-2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】 微专题：平面向量的数量积及其应用 1、两个向量的夹角： （1）定义：已知两个非零向量和，作，， 则叫做向量与的夹角； （2）范围：向量夹角的范围是； 与同向时，夹角＝0°；与反向时，夹角＝180°； （3）向量垂直：如果向量与的夹角是90°，则与垂直，记作； 2、平面向量的数量积的概念： （1）已知两个非零向量与，则数量叫做与的数量积，记作，即：=，其中是与的夹角；规定：； （2）的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的数量投影的乘积； （3）投影向量的概念：在方向上的投影向量为； 数量投影的概念：在方向上的投影向量为； 3、数量积的运算律： （1）交换律：；（2）分配律：； （3）对，； 4、计算向量数量积的三种常用方法： （1）定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即=，其中是与的夹角； （2）基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解． （3）坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解 【典例】 例1、（1）已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，若E，F分别为AB，BC的中点，则·＝(　　) A．8 B．10 C．12 D．14 （2）已知两个单位向量与的夹角为60°，则向量在向量方向上的数量投影为________． 【提示】； 【答案】； 【解析】 【说明】本题考查了平面向量的数量积运算；解决涉及几何图形的向量的数量积运算常有两种思路：一是定义法，二是坐标法．定义法可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补；坐标法要建立合适的坐标系；题型通常有：1、当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解；2、当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解；3、对于数量积与线性运算的综合问题，可先运用数量积的运算律，几何意义等化简，再运算； 例2、（1）已知平面向量，的夹角为，且||＝，||＝2，在△ABC中，＝2＋2，＝2－6，D为BC中点，则||等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 （2）已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD