15 微专题：平面向量中的优美结论与三角形的四心交汇 讲义-2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】 微专题：平面向量中的优美结论与三角形的四心交汇 新定义：“奔驰定理”：设是内一点，的面积分别记作 则. 由于这个定理的几何表示和奔驰的logo很相似，所以，人们把其称为“奔驰定理”；但是，这只是坊间约定与戏说；所以，正式、正规考试的解答题，若用到此结论，必须加以证明； 【三角形“四心”概念的梳理】 (1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直； (3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。 一、定理的证明 【提示】 【证明1】 【说明】以上证明整合了向量的线性运算、三点共线与平面几何性质、面积公式的交汇； 【证明2】 【推论】 二、定理与“三角形四心”几何性质的交汇 “奔驰定理”在三角形四心中的“向量形式”的具体形式： （1）是的重心； （2）是的内心； （3）是的外心 ； （4）是的垂心 ； 【典例】 例1、如图：已知是的外心； 求证：（1） （2）； 例2、如图：已知是的垂心； 求证：（1）； （2）； 例3、在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，a=b=4，c=6，I是△ABC中内切圆的圆心，若，则 例4、已知是的重心，且满足，则= 【归纳】 “奔驰定理”与三角形“四心”： 已知点O在△ABC内部，有以下四个推论： (1)若O为△ABC的重心，则＋＋＝； (2)若O为△ABC的外心，则sin 2A·＋sin 2B·＋sin 2C·＝； (3)若O为△ABC的内心，则a·＋b·＋c·＝； 备注：若O为△ABC的内心，则sin A·＋sin B·＋sin C·＝；也对． (4)若O为△ABC的垂心，则tan A·＋tan B·＋tan C·＝； 【即时练习】 1、点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设＝λ＋μ，则实数λ和μ的值分别为(　　) A．，　　　　B．，　　　　　C．，　　　D．， 2、设H是△ABC的垂心，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 3、过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q， ＝， ＝n，则n的值为________． 4、已知点是 的重心，