14 微专题：平面向量中的优美结论与三角形面积交汇 讲义-2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】 微专题：平面向量中的优美结论与三角形的四心交汇 新定义：“奔驰定理”：设是内一点，的面积分别记作 则. 由于这个定理的几何表示和奔驰的logo很相似，所以，人们把其称为“奔驰定理”；但是，这只是坊间约定与戏说；所以，正式、正规考试的解答题，若用到此结论，必须加以证明； 新定义：“奔驰定理”如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝； 【证明】 推论：已知P为△ABC内一点，且x＋y＋z＝．(x，y，z∈R，xyz≠0，x＋y＋z≠0)．则有 （1） S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝|x|∶|y|∶|z|． （2）＝||，＝||，＝||． 【典例】 例1、设点在所在平面内，若，则与的面积比为 【说明】通过以上两种方法的解答说明：数形结合地应用好向量的线性运算与三点共线的结论就是基本方法，“奔驰定理”只是适合填充、选择题的在“符合前提”下的快捷解法； 例2、新定义：奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则；“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”； 设为内一点，且满足：，则（ ） A． B． C． D． 例3、已知为内一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（ ） A． B． C． D． 例4、设点在内且为的外心，，如图： 若，，的面积分别为：，，， 则的最大值是 【即时练习】 1、已知，点是内一点且，则的面积为（ ） A． B． C． D． 2、已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积之比为3，则（ ） A． B． C． D． 3、已知为所在平面内一点，且，若，则__________. 4、设点在内部，且，则与的面积之比为________. 5、设为所在平面上一点，且满足；若的面积为，则的面积为___________． 6、已知点是所在平面内一点，满足，求：与面积之比； 【教师版】 微专题：平面向量中的优美结论与三角形的四心交汇 新定义：“奔驰定理”：设是内