13 微专题：平面向量中一个优美结论的证明与应用 讲义-2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】 微专题：平面向量中一个优美结论的证明与应用 平面向量问题是高中数学中的一个热点，高考中针对性考查，一般以选择填空形式出现，难度一般也会控制在中等，但有时也会以出现压轴题型出现。平面向量中有许多有趣的结论，但说到最优美的结论，那要数被形象与趣称的“奔驰定理”；由于这个定理的几何表示和奔驰的logo很相似，所以，人们把其称为“奔驰定理”；但是，这只是坊间约定与戏说；所以，正式、正规考试的解答题，若用到此结论，必须加以证明； “奔驰定理”：如图，已知为内一点，则有； 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似， 坊间约定与戏称为“奔驰定理”； 这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题， 尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用； 【典例】 例1、如图，已知为内一点，证明：有； 【提示】； 【解析】 【说明】以上证明整合了向量的线性运算、三点共线与平面几何性质、面积公式的交汇； 例2、设点在所在平面内，若，则与的面积比为 【提示】； 【答案】； 【解析】方法1： 方法2： 【说明】通过本题说明：理解“奔驰定理”对于符合题设的填充、选择题可以快捷、方便解答； 其本质还是向量线性运算与平面几何性质与运算的综合应用； 例3、定义：“在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理””，若的三边为a，b，c，现有则O为的（       ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 例4、若是锐角内的一点，是的三个内角，且点满足， 则下列命题中正确命题的序号是 ①为的垂心； ②； ③； ④ 【归纳】 1、对“奔驰定理”的理解与拓展 为内一点，，则. 重要结论：，，. 结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则： . 即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积. 结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部， 并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时， 则有. 结论3：对于内的任意一点，若， 则、、的面积之比为. 即若三角形内共点向量的线性加权和为零， 则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比. 结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，， 则、、的面积分别为. 即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零， 则各向量所对应的三角形面积之比