12 微专题：三角形四心的应用与向量的交汇 讲义-2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】 微专题：三角形四心的应用与向量的交汇 【三角形四心的概念介绍】 (1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直； (3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。 【三角形四心的向量式】 三角形“四心”向量形式的充要条件 设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则 （1）O为△ABC的重心⇔＋＋＝； （2）O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝⇔sin 2A·＋sin 2B·＋sin 2C·＝； （3）O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0⇔ sin A·＋sin B·＋sin C·＝； （4）O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·⇔ tan A·＋tan B·＋tan C·＝； 【典例】 例1、著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理；设点O，H分别是的外心、垂心，且为中点，则（ ） A．　　　　　　　　B． C．　　　　　　　　D． 【提示】； 【答案】； 【解析】 【说明】结合选择题的特点：利用特殊位置、特殊图形往往也是奏效的方法； 例2、已知是锐角三角形的外接圆的圆心，且，若，则m＝(　　) A．　　　　B．　　　C．　　　　D．不能确定 【提示】； 【答案】； 【解析】 【说明】利用向量的数量积运算进行转化，是解答本题的关键； 例3、在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是△ABC的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]， 则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（ ） A．　　　　B．　　　　　C．4　　　　D．6 例4、已知O是△ABC的外心，∠C＝45°，则＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是（ ） A．[－，]　　B．[－，1)　　C．[－，－1]　　D．(1，] 例5、在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC的外接圆的圆心，A＝， 且＝λ＋μ，则λμ的最大值为________． 【归纳】 关于四心的概念及性质： （1）重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点．