10 微专题：平面向量中的等和线及其应用 讲义-2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】 微专题：平面向量中的等和线及其应用 平面向量是有效连接代数和几何的桥梁，已成为高考数学命题的一个热点，向量中的等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数式运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现。与平面向量等和线结论相关的试题在近年高考及各省市的模拟考试相继出现，这类问题综合性大，技巧性较强；所以，考生在解决此类问题时，大多会思路不清晰，解题繁琐，得分率不高，现不妨典例进行例析； 如图所示，直线DE∥AB，C为直线DE上任一点，设＝x＋y(x，y∈R)； 1、平面向量等和线定义 （1）当直线DE经过点P时，容易得到x＋y＝0； （2）当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F， 因为点F在直线AB上，所以由三点共线结论可知，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1； 由△PAB与△PED相似，知必存在一个常数k∈R，使得＝k(其中k＝＝＝)， 则＝k＝kλ＋kμ．又＝x＋y (x，y∈R)，所以x＋y＝kλ＋kμ＝k； 以上过程可逆； 在向量起点相同的前提下，所有以与两向量终点所在的直线平行的直线上的点为终点的向量，其基底的系数和为定值，这样的线，我们称之为“等和线”； 2、平面向量等和线定理 平面内一组基底，及任一向量满足：＝λ＋μ (λ，μ∈R)，若点F在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k（定值其中k＝＝＝），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线； 3、平面向量等和线性质 （1）当等和线恰为直线AB时，k＝1； （2）当等和线在点P和直线AB之间时，k∈(0，1)； （3）当直线AB在点P和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； （4）当等和线过点P时，k＝0； （5）若两等和线关于点P对称，则定值k互为相反数． 【典例】 例1、如图，平面内有三个向量，，， 其中〈，〉＝120°，〈，〉＝30°， 且||＝||＝1，||＝2，若＝m＋n，则m＋n＝________． 【提示】， 【答案】； 【解析】基本方法：； 方法2：； 【说明】本题考查了根据等和线求基底系数和的值问题；根据等和线求基底系数和的步骤：1、确定值为1的等和线；2、平移（或伸缩）该线，作出满足条件的等和线；3、从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值； 例2、如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列以