7 微专题：平面向量共线定理及应用 讲义-2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】 微专题：平面向量共线定理及应用 共线向量定理： 向量与非零向量()共线有且只有一个实数，使得； （1）要注意向量，共线，只需证明存在实数，使得即可. （2）如果，实数仍然存在，此时并不唯一，是任意数值；. 平面向量共线定理的应用 （1）证明向量共线：对于非零向量，，若存在实数λ，使，则与共线； 【注意】对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解向量与共线是指与所在的直线平行或重合．向量共线的充要条件中要注意“”，否则可能不存在，也可能有无数个； （2）证明三点共线：若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线； 【注意】证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线； 对于三点共线有以下结论： 对于平面上的任一点O，不共线，满足(x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y=1； 【典例】 例1、设，，为非零向量，其中任意两向量不共线，已知与共线，且与共线，则与是否共线？请证明你的结论； 【提示】； 【答案】 【解析】 【说明】 例2、如图，已知，，，分别是四边形的边，，，的中点， 用向量法证明：四边形是平行四边形。 例3、设两个非零向量与不共线； （1）若＝，＝，＝，求证：A，B，D三点共线； （2）试确定实数，使和共线； 例4、如图，在中，，分别是，的中点， 若（、），且点落在四边形内（含边界）， 求：的取值范围。 【归纳】 平面向量共线向量定理：向量()与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得 平面向量共线定理的几个应用： （1）证明向量共线：对于向量，，若存在实数λ，使＝λ(，则与共线． （2）证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线． （3）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 【注意】证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点； 求解向量共线问题的注意事项： （1）向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用； （2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线； （3）直线的向量式参数方程：三点共线(为平面内任一点，) 【即时练习】 1、已知O为△ABC内一点，且＝(＋)，＝t，若B，O，D三点共