5 微专题：对向量共线定理的理解与初步应用 讲义-2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】 微专题：对向量共线定理的理解与初步应用 平面向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁； 向量共线定理：设是非零向量（即：），则存在唯一实数，使得； 向量共线定理含义的理解： 向量与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得；在向量共线的充要条件中要注意，否则λ可能不存在，也可能有无数个； 【三点共线的等价转化】 A，P，B三点共线⇔＝λ(λ≠0)⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔＝x＋y；(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)； 【典例】 例1、设两向量与不共线． （1）若＝＋，＝2＋8，＝3(－)．求证：A，B，D三点共线； （2）试确定实数k，使k＋和＋k共线． 【提示】； 【解析】 ； 【说明】本题主要考查与应用了平面向量共线定理；思维升华　利用共线向量定理解题的策略 1、∥ ⇔【注意：细微的变化哦】是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用； 2、当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔，共线． 3、若与不共线且λ＝μ，则λ＝μ＝0； 【变式拓展】 1、【变条件】若将本例1（1）中“＝2＋8”改为“＝＋m”，若A，B，D三点共线，则m＝________． 【解析】 2、【变结论】若将本例（2）中的“共线”改为“反向共线”，则k＝________． 【解析】 例2、证明：（1）如果，存在不全为的实数，，使得，那么向量与向量是共线向量； （2）如果，向量与向量不共线，且，那么； 例3、设，不共线，求证：点P，A，B共线的充要条件是：＝λ＋μ且λ＋μ＝1，λ，μ∈R 【归纳】 1、利用共线向量定理解题的策略 （1）∥⇔＝λ()是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用； （2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时才能得出三点共线．即A，B，C三点共线⇔，共线； 2、准确理解共线向量定理 （1）∥等价于存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1＋λ2＝0成立； （2）共线向量定理是解决三点共线问题的有利工具 解题过程中常用到结论：“P，A，B三点共线”等价于“对直线AB外任意一点O，总存在非零实数λ，使＝λ