4 微专题：例析平面向量的线性运算 讲义-2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】 微专题：例析平面向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算；向量线性运算的结果仍是向量；从一个或几个向量出发，通过线性运算得到的新向量称为原来那些向量的线性组合； 即对于任意向量，，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1±μ2)＝λμ1±λμ2； 平面向量线性运算问题的求解策略： 1、进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来； 2、向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用； 3、用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果； 【典例】 例1、根据图形（如图），下列结论正确的是（ ） ①; ②； ③; ④； A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【提示】； 【答案】； 【解析】； 【说明】本题考查了向量加法、减法的几何意义；利用向量加、减法的几何意义解决问题通常有两种方法： 1、根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三角形，再结合其他知识求解相关问题； 2、平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题，可考虑利用向量知识来求解； 例2、（1）【2020新高考Ⅱ】若D为△ABC的边AB的中点，则＝（ ） A．2－ B．2－ C．2＋ D．2＋ （2）在△ABC中，＝2，且E为AC的中点，则＝(　　) A．－＋ B．＋ C．－－ D．＋ 【提示】； 【答案】； 【解析】 ； 【说明】本题主要考查了对平面几何中“中点”性质的关注、理解与应用； 注意：找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解； 例3、已知点M是△ABC所在平面内的一点，若点M满足|λ－－|＝0且S△ABC＝3S△ABM， 则实数λ＝ 例4、在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB的中点，下列说法正确的序号是 ①．＋－＝； ②．＋＋＝； ③．若＋＝，则是